$\ker(\phi)$ es un subgrupo normal.

Question

Deje $G_1$ e $G_2$ grupos y supongamos $\phi: G_1\mapsto G_2$ es un homomorphism. A continuación, $\ker (\phi)\unlhd G_1$.

La necesidad de algunos comentarios y ayudar a probar esto. Soy nueva en pruebas, pero aquí está mi intento.

Prueba.

Queremos mostrar a $\ker (\phi)$ es normal, por lo tanto, debemos mostrar que para cualquier $h\in \ker (\phi)$ e $g\in G_1$, a continuación, $ghg^{-1}\in \ker (\phi)$. Desde $h\in \ker (\phi)$, a continuación, $\phi(h)=1$. Por lo tanto,

\begin{align} \phi(ghg^{-1})&=\phi(g)\phi(h)\phi(g^{-1})\\ &=\phi(g)\cdot 1\cdot\phi(g^{-1})\\ &=\phi(g)\phi(g^{-1})\\ &=\phi(g\cdot g^{-1})\\ &=\phi(1)\\ &=1. \end{align}

Por lo tanto, $ghg^{-1}\in \ker (\phi)$, lo que implica $\ker (\phi)$ es un subgrupo normal en $G_1$.

Answer 1

Tienes razón.

Un método alternativo, siguiendo el tuyo hasta el final, es el siguiente:

\begin{align} \phi(ghg^{-1})&=\phi(g)\phi(h)\phi(g^{-1}) \\ &=\phi(g)\cdot 1\cdot \phi(g^{-1})\\ &=\phi(g)\phi(g)^{-1}\\ &=1. \end{align}

La conclusión es, por supuesto, la misma.