¿Es la norma de campo de una unidad una unidad?

Question

Actualmente estoy estudiando varias propiedades de normas y tenía curiosidad por ver si el siguiente resultado es true, o si hay algo cerca de ella: Dada una extensión de Galois $K/F$ y un intermedio de campo $L$ con $[K:L]=p$ (donde $p$ es primo), si $A\subset K$ es de un orden de $K$ e si $t\in A^{\times}$ (grupo de la unidad de $A$), es $$Nm_{K/L}(t)\in A^{\times} \cap L?$$

Yo era capaz de mostrar $Nm_{K/L}(t)\in L$ desde $[K:L]$ es primo, pero no estoy seguro de si $$Nm_{K/L}(t)\in A^{\times}.$$

Answer 1

Dado un número finito de extensión de $K/L$ y un sub-anillo $A \subset K, Frac(A)=K$, $B = A \cap L$,

Para $a \in A$, vamos a $R_1 = B[a]$, y recoger de forma iterativa algunos $a_{m+1} \in A$ tal que $R_{m+1}= R_m[a_{m+1}]$ es un servicio gratuito de $R_m$-módulo, hasta que $R_M$ es finito índice en $A$. Por lo $R_M$ también es libre $B$-módulo.

El campo de norma $N_{K/L}(a)$ es el determinante de la $B$-lineal mapa de $x \mapsto a x , R_M \to R_M$. Por lo $N_{K/L}(a) \in B$.

Si $a \in A^\times$ entonces $1=N_{K/L}(aa^{-1})=N_{K/L}(a)N_{K/L}(a^{-1})$ y, por tanto, $N_{K/L}(a) \in B^\times$.