Normalmente lo que se hace es mostrar cómo un contraejemplo a la Elección Dependiente puede ser usado para producir un contraejemplo a la equivalencia. Así que comenzando con un árbol de altura $\omega$ sin nodos máximos y sin ramas infinitas, definimos un $R$ -cuyos ideales no están todos generados finitamente, y sin embargo toda secuencia de ideales es finita.
Tenga en cuenta que esto también demostrará la equivalencia que busca, ya que la elección dependiente demuestra fácilmente que las dos definiciones son equivalentes.
Entonces, ¿cómo en realidad ¿lo haces? No estoy del todo seguro, para ser sincero. Es una pregunta difícil, y no he podido encontrarla en ninguno de los "lugares habituales" (Howard-Rubin; Herrlich; etc.), y a menudo se menciona que la equivalencia es una consecuencia de la Elección Dependiente.
Imagino que esto requeriría una construcción inteligente para demostrarlo. Pero la esencia general sería probablemente comenzar con un árbol $T$ que no tiene elementos máximos, ni ramas infinitas, y utilizarlo para construir algún anillo $R$ , quizás de alguna manera un anillo parcialmente ordenado $\Bbb Z^{(T)}$ como una exponenciación de orden. Entonces demuestre que los ideales tienen algún orden natural que se hereda de $T$ Por lo tanto, existe una colección sin un elemento máximo, pero toda cadena de ideales es finita. E idear una forma de utilizar este hecho para construir un ideal que no esté finitamente generado.
