¿Existe un mapa de surjective continuo de$\mathbb{R}^n$ a$\mathbb{R}^n\setminus\{O\}$?

Question

¿Existe un mapa de surjective continuo de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n\setminus\{O\}$ ?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Sí. Deje $S^{n-1} = \{ y \in \mathbb R ^n \mid \lVert y \rVert = 1 \}$ ser la unidad de la esfera en $\mathbb R ^n$. Definir $$f : \mathbb R ^{n-1} \S^{n-1}, \begin{cases} (x,\sqrt{1 - \lVert x \rVert^2}) & \lVert x \rVert \le 1 \\ ((2 - \lVert x \rVert)\dfrac{x}{\lVert x \rVert },-\sqrt{1 - (2 - \lVert x \rVert)^2}) & 1 \le \lVert x \rVert \le 2 \\ (0,-1) & \lVert x \rVert \ge 2 \end{casos} $$ Es fácilmente verfied que esto es un continuo surjection. Ahora definir $$g : \mathbb R ^n \to \mathbb R ^n \setminus \{ 0 \}, g(x,t) = e^t f(x) .$$ Esta es una continua surjection.

Editar:

Un enfoque alternativo es definir continua surjections $f_m : \mathbb R ^m \to S^m$ inductiva. Para $m \ge 0$definir $$f'_m : S^m \times \mathbb R \to S^{m+1}, f'_m(x,t) = \cos(t)(x,0) + \sin(t)(0,\dots,0,1) .$$ Aquí $0 \in \mathbb R$. Claramente $f'_m$ mapas de $\{ x \} \times \mathbb R$ surjectively en el círculo unidad $S^1_x$ en las dos dimensiones subespacio de $\mathbb R ^{m+2}$ atravesado por $(x,0)$ y el polo norte, $(0,\dots,0,1)$ de $S^{m+1}$. Desde $\bigcup_{x \in S^m} S^1_x = S^{m+1}$, podemos ver que $f'_m$ es un continuo surjection.

Ahora defina $f_1 : \mathbb R \to S^1, f_1(t) = f'_1(1,t)$. Este es un surjection porque $S^1_1 = S^1$. Dado $f_m : \mathbb R ^m \to S^m$, definir $$f_{m+1} : \mathbb R ^{m+1} = \mathbb R ^m \times \mathbb R \stackrel{f_m \times id}{\longrightarrow} S^m \times \mathbb R \stackrel{f'_m}{\longrightarrow} S^{m+1} .$$

Answer 2

Claro, siempre y cuando $n\geq 2$. Un ejemplo que se presenta a continuación:

En primer lugar, la función que empuja todo en un abrir mitad-espacio para intance $$ (x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n)\mapsto (x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, e^{x_n}) $$ A continuación, para cada punto de $p$ en la imagen, tomar la $n-1$-esfera centrada en el origen que contengan $p$, y en la que la esfera de dar el gran círculo a lo largo de esa esfera que contiene el "norte" pole $(0,0,\ldots,0,|p|)$ e $p$. Empuje $p$ a lo largo de ese gran círculo de distancia desde la pole, por el doble de la distancia de $p$ para el polo a lo largo del gran círculo. Así que puntos cercanos al ecuador de la vuelta y estar cerca de la línea ecuatorial en el otro lado, mientras que los puntos cercanos al polo permanecer cerca de los polos.

Esta transformación final se "envuelve" la mitad de espacio alrededor del origen, con algunas coincidencias para la buena medida.