La dimensión del espacio vectorial

Question

Pregunta: Que $A$ ser un $n×n$ matriz compleja con $n$ valores propios distintos. Sea $V$ sea el conjunto de todos los $n×n$ matrices complejas $B$ que conmutan con $A$ . Demuestra que V es un espacio vectorial y halla su dimensión (Justifica tu respuesta).

Mi respuesta: Sé cómo demostrar que V es un espacio vectorial, pero no sé cómo hallar su dimensión. He intentado demostrar que si v es un vector propio correspondiente a algún valor propio, también lo es Bv, y obtuve que para todo B, Bv = kv para algún escalar v. Pero no estoy seguro de si esto ayuda.

Answer 1

Ha demostrado que $Bv_i = \mu_i v_i$ para todos $i=1,\dots,n$ .

Sea $p$ sea el polinomio tal que $p(\lambda_i)=\mu_i$ .

Entonces $p(A)v_i=p(\lambda_i)v_i=\mu_i v_i=Bv_i$ .

Por lo tanto, $B=p(A)$ .

Así, $V$ es exactamente el subespacio de todos los polinomios en $A$ . ¿Cuál es la dimensión de ese subespacio?