Sin incrustación de un toro a una esfera

Question

He estado tratando de demostrar que no hay incrustación desde un toro a $S^2$ pero no ha servido de nada.

Estoy completamente atascado en dónde empezar. Se supone que la prueba se basa en la teoría de la homología. Sé cómo probar que $S^n$ no se puede incrustar en $\mathbb{R}^n$, sin embargo eso no me ha ayudado en este caso. Cualquier ayuda / otros ejemplos de cómo probar la falta de una inserción sería genial.

Answer 1

Supongamos que existe una incrustación $f : T^2 \mapsto S^2$.

Cada punto de $x \in T^2$ tiene un vecindario $U$ homeomórficos al abrir la unidad de disco en $S^2$, y de ello se sigue que $f(U) \subset S^2$ es homeomórficos al abrir la unidad de disco. Por la Invariancia de Dominio teorema, $f(U)$ es un subconjunto abierto de $S^2$. Esto demuestra que $f(T^2)$ es un subconjunto abierto de $S^2$.

Pero $T^2$ es compacto, por lo $f(T^2)$ es compacto, por lo que también es un subconjunto cerrado de $S^2$.

Por la conectividad de $S^2$, se deduce que el $f(T^2)=S^2$. Por lo $f$ es un homeomorphism, contradiciendo ese $S^2$ simplemente se conecta y $T^2$ no lo es.

Answer 2

Aquí se dan varias razones por las que el toro no puede ser embebido en $\mathbb R^2$; dos de ellos de uso de la invariancia del dominio teorema.

Ahora, si el toro podría ser embebido en $S^2$, luego esta la incrustación no puede ser a $S^2$, ya que de lo contrario esto sería un homeomorphism. Por lo tanto, como $S^2$ menos que un punto es homeomórficos a $\mathbb R^2$, obtendríamos una incrustación de el toro en $\mathbb R^2$.