¿Podemos calcular el área de un cuadrilátero con un ángulo recto cuando sólo conocemos las longitudes de tres lados cualesquiera?

Question

Hace poco hice un test de inteligencia para divertirme, pero no estoy de acuerdo con la respuesta a una de las preguntas. Esta es la pregunta:

Mi problema es que la explicación asume que el ángulo DC es un ángulo recto. Dada esa suposición, puedo ver que el cuadrilátero es efectivamente un rectángulo y un triángulo rectángulo y puedo seguir su explicación. Sin embargo, (por lo que recuerdo que me dijo mi profesor de geometría en el instituto) aunque un ángulo parezca recto, no debe asumirse a menos que se diga explícitamente o se pueda demostrar. Para explicar lo que quiero decir, si DC no es un ángulo recto y exacerbamos esa diferencia, quedaría como lo siguiente:

Por lo tanto, incluso estando dados A, B, C y D parece que no se podría calcular el área.

Así que mi pregunta es doble:

1. ¿Es válida mi crítica o estoy siendo demasiado orgulloso porque me equivoqué en una pregunta?
2. Dada mi interpretación, DC no es un ángulo recto, ¿se puede resolver este problema?

Answer 1

Tienes razón. La explicación proporcionada no tiene sentido. $DC$ no se puede suponer que sea un ángulo recto.

Sin embargo, si no hace esa suposición, y toma $BC$ como el único ángulo recto dado, la respuesta correcta es "Se deben conocer los cuatro lados".

El cuadrilátero puede descomponerse en dos triángulos no superpuestos. El primero es un triángulo rectángulo formado por los lados $B$ , $C$ y una hipotenusa, y su área es fácil de determinar. Puedes utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa de ese triángulo rectángulo formado por los lados $B$ y $C$ . Esa hipotenusa, junto con los lados $A$ y $D$ forma el otro triángulo. Su área se puede calcular utilizando La fórmula de Heron . Sólo hay que sumar las áreas.

Obsérvese que sigo asumiendo tácitamente que se trata de un cuadrilátero convexo. Un cuadrilátero cóncavo es posible con el ángulo $AD$ siendo reflejo, lo que aparentemente no es representativo del diagrama dado, pero es una posibilidad cuando sólo se tiene la información de un único ángulo recto y cuatro lados dados. En el caso de un cuadrilátero cóncavo, el cálculo del área que he detallado anteriormente no sería correcto.

Answer 2

Tienes razón en que la solución dada es errónea. Peor aún, incluso si Si sabes que los ángulos entre BC y CD son ambos ángulos rectos, la supuesta respuesta es sigue siendo un error ¡! Esto se debe a que si se le dan las longitudes de A,B,C, todavía no determina de forma única D porque no se nos dice que el ángulo entre AB es menor que $90°$ .

En general, no es suficiente aunque tenga las cuatro longitudes de los lados. Por ejemplo, consideremos el cuadrilátero convexo $PQRS$ tal que $PQ = 6$ y $QR = 9$ y $RS = 7$ y $SP = 8$ . Es posible que $P,R$ son ligeramente inferiores a $15$ aparte, haciendo $PQRS$ un cuadrilátero muy delgado cuya área puede hacerse arbitrariamente cercana a cero. Alternativamente, moviendo $P,R$ a una distancia de $10$ hace $PQRS$ más bien de forma cuadrada, con una superficie claramente superior a $48$ . Fórmula de Bretschneider da el área para un cuadrilátero arbitrario, y también se puede ver en él que fijar las longitudes de los lados no es suficiente para determinar el área, ya que también varía con la suma de dos ángulos opuestos.

Answer 3

Tienes razón: no hay absolutamente ningún indicio de que el ángulo $DC$ es un ángulo recto. Si querían que asumieras que era un ángulo recto, deberían haberlo indicado con otro $90$ . En realidad, ni siquiera parece un ángulo recto (alguien tuvo la brillante idea de intentar representar la imagen en perspectiva, pero ni siquiera sabemos dónde se supone que está el horizonte).