Si $$z = \frac { \left\ { \sqrt {3} \right\ }^2 - 2 \left\ { \sqrt {2} \right\ }^2 }{ \left\ { \sqrt {3} \right\ } - 2 \left\ { \sqrt {2} \right\ } }$$ encontrar $ \lfloor z \rfloor $ .
No sé cómo hacerlo, pero estaba pensando en multiplicar el denominador por su conjugado, pero idk.
Suponiendo que $\{ \cdot \}$ es una parte fraccionaria, $\{ \sqrt {3}\} = \sqrt {3}-1$ y $\{ \sqrt {2}\} = \sqrt {2}-1$ así que
$$ z = \frac {( \sqrt {3}-1)^2 - 2 ( \sqrt {2}-1)^2}{ \sqrt {3} + 1 - 2 \sqrt {2}}$$ Expande el numerador y deberías reconocer que es un cierto número entero multiplicado por el denominador.
No veo qué hay de malo en racionalizar. Así que lo que hacemos es, primero evaluamos el numerador, que es $3-2*2=-1$ . Entonces, la fracción es $ \frac {-1}{ \sqrt {3}-2 \sqrt {2}}$ . Tenga en cuenta que $ \sqrt {3} < \sqrt {8}$ así que multiplicamos la parte superior e inferior por $-1$ y obtener la fracción $ \frac {1}{ \sqrt {8}- \sqrt {3}}$ . Fíjese en eso: $$ \sqrt {4} > \sqrt {3} \implies 2 > \sqrt {3} \implies 4 > 2 \sqrt {3} \implies 8 > 4+2 \sqrt 3 $$
Ahora, una manipulación inteligente: $$ 4+2 \sqrt {3} = 1+3+2 \sqrt {3} = 1^2 + { \sqrt {3}}^2 + 2*1* \sqrt {3} = (1+ \sqrt {3})^2 $$ Así que tomamos la raíz cuadrada de arriba: $$ 8 > 4+2 \sqrt 3 \implies \sqrt 8 > 1+ \sqrt {3} \implies \sqrt 8 - \sqrt 3 > 1 \implies \frac {1}{ \sqrt {8} - \sqrt {3}} < 1 $$ Por supuesto, también es cierto que $ \sqrt {8} > \sqrt {3}$ así que $ \frac {1}{ \sqrt {8} - \sqrt {3}} > 0$ . De esta lógica, se deduce que $ \lfloor z \rfloor = 0$ .
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