Semi-lineares operadores

Question

Si $V_1$ $V_2$ son finito-dimensional espacios vectoriales sobre un campo $E$, cada una equipada con un $E$-lineal operador $\phi$, podemos decir si $V_1$ $V_2$ son isomorfos como $\phi$-módulos mediante la comparación de la forma canónica de Jordan de la $\phi$-operador de cada espacio.

Si $E$ es en sí equipado con un $\phi$-operador, y ahora cada una de las $V_i$ tiene un semi-lineal operador $\phi$, hay alguna manera (algoritmo?) para determinar si es o no $V_1$ es isomorfo a $V_2$ $\phi$- módulo?

(Me gustaría ser el contenido de una respuesta, en el caso de $E=F_p((T))$$\phi(f(T)) = f(T^p)$.)

Answer 1

Rob, estoy dudoso que en tal generalidad (con $\phi$ presumiblemente destinado a actuar en $E$ algunos no especificado endomorfismo) hay una respuesta razonable. La razón por la que la forma canónica de Jordan "obras" incluso si $E$ no es algebraicamente cerrado es que uno puede apelar a la muleta de forma canónica racional sobre cualquier campo y la relacionan con los Jordan en la forma a través de una clausura algebraica. Que es, se tiene la "suerte" que de paso a una extensión de campo no tiene efecto sobre la respuesta.

En contraste, esto no es cierto para semilinear álgebra en los casos interesantes. Por ejemplo, ya que en el caso clásico $E = W(k)[1/p]$ $k$ perfecto de la característica $p > 0$ $\phi_E$ el habitual Frobenius, si $k$ es algebraicamente cerrado, a continuación, la categoría es semisimple y la Dieudonn\'e-Manin clasificación de las caracterizaciones de isomorfismo clases en términos de Newton polígonos. Pero para más general $k$ uno tiene isoclinic de la descomposición (por conveniente descenso de $W(\overline{k})[1/p]$) sin embargo, semisimplicity falla. En otras palabras, no son objetos de más de $W(k)[1/p]$ que no son isomorfos, que se convierten en isomorfo $W(\overline{k})[1/p]$. Por lo que cualquier respuesta de "álgebra lineal" sabor tendría que ser sensibles a los cambios de $k$.

En la medida en nada útil, podría decirse, probablemente tiene para especificar que una clase particular de pares $(E, \phi_E)$. Por ejemplo, en el caso clásico como el de arriba tiene la lingüística respuesta de trabajar con los módulos a través de la Dieudonn\'anillo e de $k$. No es un bonito anillo. Para finito $k$, por lo que algunos se itera de $V$ $F$ son en realidad $W(k)[1/p]$-lineal, se puede conseguir una manija en la estructura de este anillo a través de la central de simple álgebras. Esto ya viene en la Tate de trabajo en el $p$-parte de su isogeny teorema de abelian variedades sobre campos finitos (ver el CM seminario notas sobre Honda-Tate teoría en mi página web, o el artículo original de Milne-Waterhouse hace referencia existe).

Suena como el caso de que desee considerar es al $E$ es un campo de caracteres $p > 0$ $\phi_E$ $p$- mapa de poder (aunque sospecho que en última instancia, no sería feliz con sólo $\mathbf{F} _p$-coeficientes en su Laurent series de campo). Así que aquí el correspondiente anillo es un 1-variable no-conmutativa álgebra, la estructura de lo que parece bastante difícil, más allá de la algebraicamente cerrado caso (especialmente imperfecto $E$); dudo nada útil, puede decirse, en general. En el algebraicamente cerrado caso hay una especie de "Jordan descomposición" que se explica temprano en una exposición de Katz en SGA7 (el modelo de los conectados-etale de la secuencia, así que creo que también vale para una perfecta $E$), y la no-conmutativa polinomio álgebra $E[\phi]$ es como un no-conmutativa PID; lo que recuerdo es que una vez más tiene un Dieudonn\'e-Manin tipo de resultado, pero más en el espíritu de la estructura de finito abelian grupos o racional de la forma canónica. Sin embargo, esto está muy lejos de el caso de que usted se preocupa por imperfecta $E$.

Moraleja de la historia: es generalmente muy difícil identificar clases de isomorfismo más allá de muy baja-dimensional situaciones o "algebraicamente cerrado" hipótesis.

Para poner las cuestiones en perspectiva, pensar en la estructura de 1-dimensional $p$-divisible entre los grupos de más de un campo $E$ de los característicos $p$: si $E$ es algebraicamente cerrado (creo que incluso sólo separadamente cerrado es suficiente, tenemos Lazard el resultado de que la altura es el único invariante. Más allá de eso, uno no tiene la clasificación de niza (aparte de ser capaz de cambiar los cálculos para la Dieudonne módulo lado al $E$ es perfecto, donde pronto se hace evidente a través de la base de fórmulas de transformación que las cosas están bastante complicado cuando se $E \ne \overline{E}$). Y desde una $p$-divisible grupo implica un "infinito" cantidad de datos, la brecha entre el trabajo de más de $E$ y el trabajo de más de $E_s$ (o $\overline{E}$) es gigantesca en un camino que no es el caso cuando se trabaja con esquemas de finito escriba sobre el campo de tierra.

Answer 2

Esta pregunta es muy interesante. Como Brian dijo, no hay duda de que las cosas son muy sensibles a los específicos de la $E$$\phi$, y estaría interesado en saber cómo funcionan las cosas para apenas alrededor de cualquier ejemplo. Aquí están algunas cosas que usted puede encontrar útil, si usted no los conoce ya.

Supongamos $\phi$ es un automorphism de $E$ finito de orden $n$, y supongamos que miramos $E$-espacios vectoriales con semi-lineal de los operadores de orden $n$. Si dejamos $F$ el valor del campo fijo de $\phi$, $E/F$ es cíclica Galois de la extensión de la orden de $n$, y un $E$-espacio vectorial con un semi-lineal operador $\phi$ orden $n$ es, por Galois de descenso, igual que el de un $F$-espacio vectorial. Más precisamente, dada una $F$-espacio vectorial $N$, $E\otimes_F N$ $E$- espacio vectorial con un semi-lineal operador $\phi\otimes 1$ orden $n$; y un $E$-espacio vectorial $M$ con semi-lineal operador $\phi$ orden $n$, el subconjunto de $\phi$-invariantes es una $F$-espacio vectorial. Estos dos functors inducir una equivalencia de categorías.

Pero las cosas parecen ser mucho más rica si no se requiere la semi-lineal endos de $M$ a un ser finito de orden, incluso si el automorphism $\phi$ $E$ tiene orden finito. Por ejemplo, Dieudonné-Manin teoría mencionada por Brian.

Hace un par de meses, me preguntaba un poco sobre el caso donde $E=\mathbf{C}$ $\phi$ es compleja conjugación. Entonces si escribimos $\phi$ como una matriz de $A$ con respecto a una base, una matriz de cambio de base $B$ cambios$A$$\bar{B}A B^{-1}$. (Incluso en el caso de 1-dimensional espacios vectoriales no es completamente trivial, aunque no es difícil.) Pregunté a unas cuantas personas, y, finalmente, alguien fue capaz de decirme, después de hacer un poco de hurgar en sí mismo, que esta relación de equivalencia se llama consimilarity por algunas personas, y hay un papel (a partir de 1988!) por Hong y el Cuerno de dar un teorema de Jordan. Se llama "Una forma canónica para matrices en la consimilarity". (NOTA: yo no lo he leído. El estilo no es realmente atractivo para mí, y en el momento, no me importaba lo suficiente como para ir más allá de eso.)