Mi amigo me presentó a la asociación de las desigualdades para la expectativa. A saber:
Si $f$ es monótonamente creciente y $g$ es monótonamente decreciente, entonces para cualquier variable aleatoria $X$ $$E[f(X)g(X)] \leq E[f(X)]E[g(X)]$$
siempre las expectativas están bien definidos. Como ejemplo, podemos mostrar para $k\geq 1$ $$E[X^ke^{-X}] \leq E[X^k]E[e^{-X}]$$
El Cauchy Schwarz desigualdad daría un acercamiento obligado en este caso. Ahora, para el ejemplo anterior, me preguntaba si es posible demostrar la siguiente más fuerte reclamo: ¿Existe una constante universal de $C_k$ tal que para $X$ tener CUALQUIER distribución, $$E[X^ke^{-X}] \leq C_kE[e^{-X}]$$ ?
Mi comprensión a partir de ahora es que existe pero no es universal (es decir, no es independiente de distribución). Pero yo no podía llegar con un contador para esto? Agradecería si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre esto. Si es necesario, podemos suponer que la $X$ es no negativo.
La razón por la que estoy interesado en una bound es que hay casos en los que el k-ésimo momento de la $X$ es infinito, pero $E[X^ke^{-X}]<\infty$.
Actualización: La pregunta se ha respondido correctamente. Sin embargo, yo quería hacer una nota que $E[X^ke^{-X}] \leq k^ke^{-k}$$X\geq 0$.
