Paradoja en derivación de integral de trayectoria de campos cuánticos.

Question

En Peskin p.282, se dice que "El general integral funcional de la fórmula (9.12) obtenidos en la sección anterior se cumple para cualquier sistema cuántico, por lo que debe mantener para una teoría del campo cuántico." (9.12) es la fórmula
$U(q_a,q_b,T)=(\prod_i\int Dq(t)Dp(t))\exp[i\int_0^T dt(\sum_ip^i\dot{q}^i-H(q,p)]$

En la obtención de esta fórmula, la identidad de los operadores de $\int dq|q\rangle\langle q|$ $\int dp|p\rangle\langle p|$ se insertan, y las igualdades $\langle q|q'\rangle=\delta(q-q')$, $\langle q|p\rangle=e^{ipq}$ y $\int dp e^{ip(q-q')}=2\pi \delta (q-q')$ se utilizan.

En un paralelo con la derivación de Klein-Gordon campo, primero debe asumir que existe autoestados de tanto el operador de campo $\hat \phi(\boldsymbol r)$ y el impulso operador $\hat \pi(\boldsymbol r)$:
$\hat \phi(\boldsymbol r)|\phi\rangle = \phi(\boldsymbol r)|\phi\rangle $
$\hat \pi(\boldsymbol r)|\phi\rangle = \pi(\boldsymbol r)|\phi\rangle $
e inserte la identidad de los operadores de $\int D\phi|\phi\rangle\langle \phi|$ $\int D\pi|\pi\rangle\langle \pi|$ a $\langle \phi_b|e^{-iHT}|\phi_a\rangle$, y el uso de las igualdades $\langle \phi|\phi'\rangle=\delta(\phi-\phi')$, $\langle \phi|\pi\rangle=e^{i\int d^3\boldsymbol r\pi(\boldsymbol r)\phi(\boldsymbol r)}$ y $\int D\pi e^{i\int d^3\boldsymbol r \pi(\boldsymbol r)(\phi(\boldsymbol r)-\phi'(\boldsymbol r))}=2\pi \delta (\phi-\phi')$. No parece haber ningún problema aquí.

Consideremos ahora el mismo procedimiento para la Schrödinger bosón de campo (QFT en sí no requiere de la relatividad de einstein). Necesito los autoestados $|\psi\rangle$ de la firld operador $\hat \psi(\boldsymbol r)$:
$\hat \psi(\boldsymbol r)|\psi\rangle = \psi(\boldsymbol r)|\psi\rangle$
y también la relación de ortogonalidad $\langle\psi|\psi'\rangle=\delta(\psi-\psi')$. Así, mediante la inserción de la identidad del operador puedo obtener una representación de $\hat \psi (\boldsymbol r)$:
$\hat \psi (\boldsymbol r)=\int D\psi^*D\psi\hat\psi(\boldsymbol r)|\psi\rangle\langle\psi|=\int D\psi^*D\psi\psi(\boldsymbol r)|\psi\rangle\langle\psi|$
Hacer Hermitian conjugación,
$\hat \psi^\dagger (\boldsymbol r)=\int D\psi^*D\psi\psi^*(\boldsymbol r)|\psi\rangle\langle\psi|$
Aquí viene el problema: con estas dos igualdades, siempre voy a conseguir
$[\psi(\boldsymbol r), \psi^\dagger(\boldsymbol r')]=\int D\psi^*D\psi(\psi(\boldsymbol r)\psi^*(\boldsymbol r')-\psi^*(\boldsymbol r')\psi(\boldsymbol r))|\psi\rangle\langle\psi|=0$
en contradicción con la condición de cuantización $[\psi(\boldsymbol r), \psi^\dagger(\boldsymbol r')]=i\delta(\boldsymbol r-\boldsymbol r')$

Qué tiene de malo eso? Si alguna de las condiciones anteriores deben estar relajados, entonces la forma de obtener la ruta de acceso correspondiente integral fórmula para un campo cuántico?

Answer 1

El campo de Schrödinger $\psi$ no es Hermitian, es un operador de aniquilación, por lo que no necesariamente tiene una base de autoestados, y los autoestados que tiene en el campo de las versiones de coherente de los estados. Ya que nada en tu pregunta, en realidad, depende del campo-aspecto teórico, yo en lo siguiente justo hablar sobre ordinario de creación/aniquilación operadores de $a,a^\dagger$ y su coherente estados $\lvert z \rangle$.

La resolución de la identidad en términos de coherente estados $\lvert z\rangle$ (con autovalores complejos!) no es dado por $\int \mathrm{d}z\mathrm{d}z^\ast \lvert z\rangle\langle z\rvert$ pero por $$ \mathbf{1} = \int \frac{\mathrm{d}z\mathrm{d}z^\ast}{2\pi\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\lvert z\rvert^2}\lvert z \rangle\langle z\rvert.$$ Además, el grupo coherente de los estados es overcomplete - no es una base. Nada de esto es el origen del error, pero vale la pena mencionar, sin embargo.

Su error se encuentra en la escritura

$$[\psi(\boldsymbol r), \psi^\dagger(\boldsymbol r')]=\int D\psi^*D\psi(\psi(\boldsymbol r)\psi^*(\boldsymbol r')-\psi^*(\boldsymbol r')\psi(\boldsymbol r))|\psi\rangle\langle\psi|, $$

esto no es cierto, como voy a demostrar para el caso análogo de $a,a^\dagger$: $$ [a,a^\dagger] = \int \frac{\mathrm{d}z\mathrm{d}z^\ast}{2\pi\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\lvert z\rvert^2}a \lvert z \rangle\langle z\rvert a^\dagger - \int \frac{\mathrm{d}z\mathrm{d}z^\ast}{2\pi\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\lvert z\rvert^2}a^\dagger \lvert z \rangle\langle z\rvert a,$$ pero $a^\dagger \lvert z\rangle \neq z^\ast \lvert z\rangle$. Simplemente no hay razón para que eso sea cierto, y de hecho, no lo es. Teniendo en cuenta que $[a,a^\dagger]$ es casi la misma relación como el estándar de la relación de $[x,p]$, le debe mucho, en lugar de esperar que si $a$ actúa como la multiplicación por $\lvert z\rangle$, $a^\dagger$ hechos por la diferenciación!

En cualquier caso, el punto crucial es que no se puede derivar la $=0$ de esta manera. El estado coherente de ruta integral no contradice su propia cuantización de la asunción.