Obtención de una fórmula específica para una secuencia.

Question

Si:

$$a_0 = \frac{5}{2}, a_k = a_{k-1}^{2} - 2$$ for $ k \ ge 1 $.

¿Cómo obtengo una fórmula general para$a_k$? Con prueba de inducción. Incluso traté de calcular$a_1, a_2 ...$:

PS

PS

PS

PS

Trataré el numerador y el denominador por separado.

Veo eso por el denominador.

PS

Ahora al numerador:

No puedo conseguirlo

Lo intenté,$$a_0 = \frac{5}{2}$$$a_1 = \frac{17}{4}$ k = 2 $.

Pero se desplaza$$a_2 = \frac{273}{16}$, lo que significa que para$$a_3 = \frac{74017}{256}$, tengo el valor de$$d = 2^{2^k}$.

Answer 1

$$a_0=\frac{5}{2}$$ $$a_1=\left (\frac{5}{2}\right )^2-2=\frac{17}{4}$$ $$a_2=\left (\left (\frac{5}{2}\right )^2-2\right )^2-2=\left (\frac{17}{4}\right )^2-2=\frac{257}{16}$$
Como se puede ver, se calculó el $a_2$ plazo y debido a eso, el siguiente término es también mal estado así. $$a_3=\frac{65537}{256}$$
Tenga en cuenta que el numerador es directamente un término siguiente de la correspondiente denominador plazo (más uno) Por lo tanto, (casi como se predijo), $$a_k=\frac{2^{2^{k+1}}+1}{2^{2^k}}$$

Prueba

Podemos ver que
$P(1)$ es cierto como $$\frac{2^{2}+1}{2^1}=\frac{5}{2}$$
Ahora, vamos a $P(n)$ ser cierto.
Ahora tenemos que demostrar que $P(n+1)$ es cierto.
$P(n)$ $$a_{n-1}=\frac{2^{2^n}+1}{2^{2^{n-1}}}$ $ $P(n+1)$ $$a_n=\frac{2^{2^{n+1}}+1}{2^{2^n}}$$
Sabemos que $$a_n=a_{n-1}^2-2$$
Si $P(n+1)$ es true, la siguiente también será cierto
$$\frac{2^{2^{n+1}}+1}{2^{2^n}}=\left (\frac{2^{2^{n}}+1}{2^{2^{n-1}}}\right )^2-2$$ $$\implies \frac{2^{2^{n+1}}+1}{2^{2^n}}=\frac{(2^{2^{n}}+1)^2}{2^{2^{n}}}-2$$ $$\implies 2^{2^{n+1}}+1=(2^{2^{n}}+1)^2-2^{2^{n}+1}$$ $$\implies 2^{2^{n+1}}+1=2^{2^{n+1}}+2^{2^n+1}+1-2^{2^{n}+1}$$ $$\implies 0=0$$ Podemos ver que $P(n+1)$ es cierto. Luego, por inducción, QED.