$ABCD$ es paralelogramo. $\angle ABC=105^{\circ}$. $BMC$ es un triángulo equilátero y$\angle CMD=135^\circ$. $K$ es el punto medio de$AB$. Encontrar $\angle BKC$
Mis intentos
1)$\angle MBC=\angle MCB=\angle BMC=60^{\circ}$
2)$\angle MCD=15^{\circ}$,$\angle MDB=30^{\circ}$
Quiero probar que$MB \perp CK$ pero necesito ayuda aquí
Respuestas
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Deje $N$ ser el punto en $CD$ tal que $\angle CMN=15^\circ$.
A continuación,$\angle CMN=15^\circ=\angle MCN$$\angle MDN=30^\circ=\angle MND$.
Por lo $DM=MN=NC$.
Como $BC=BM$, $MN=CN$ y $BN=BN$, $\triangle BCN\cong \triangle BMN$ y por lo tanto, $\angle CBN=\angle MBN=30^\circ$.
Por eso, $\angle BNC=75^\circ=\angle BCN$ y, por tanto,$BC=BN=BM$.
Como $\angle ADM=75^\circ=\angle BCN$, $BC=AD$ y $DM=NC$, $\triangle BCN\cong \triangle ADM$.
Por eso, $AM=BN=BM$.
Por lo tanto, $\angle BAM=\angle ABM=45^\circ$.
Desde $K$ es el punto medio de $AB$, $MK\perp AB$.
$\angle KMB=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ=\angle KBM$.
Por lo tanto, $BK=KM$.
$\triangle KBC\cong\triangle KMC$.
$\angle BKC=\angle MKC=90^\circ\div 2=45^\circ$.
AsBk3397
Puntos
327
WLOG, supuse $|BK| = |AK| = 1$ (podríamos decir $a$ o $x$ o lo que se quiera, pero no perdemos generalidad y de esta manera hace las cosas más claras, creo). Entonces, si aplicamos La Ley de los Senos en $\Delta CDM$, tenemos: $$\frac{|CD|}{\sin135^{\circ}} = \frac{|CM|}{\sin30^{\circ}} \implies 2\sqrt{2} = 2|CM| \implies |CM| = \sqrt{2}$$ Ahora, observe que $\angle MBK = 45^\circ$ $|KM|$ no es nada sino $1$ (podemos ver que el uso de la Ley de los Cosenos o darse cuenta de que un triángulo como el que uno debe ser único). A continuación, $\Delta BKM$ es isósceles triángulo de ángulo recto como se preveía. Así, el resultado de la siguiente manera.
