Polinomio quíntico sobre racionales, con grupo de Galois de orden superior a $24$ ¿es posible resolverlo por medio de radicales?

Question

Dejemos que $f(x) \in \mathbb Q[x]$ sea un polinomio quíntico, $E$ sea el campo de división de $f(x)$ en $\mathbb Q$ ; si $|\text{Gal}(E/\mathbb Q)|>24$ entonces es cierto que $f(x)$ no se puede resolver por medio de radicales?

Puedo ver que considerando $G:=\text{Gal}(E/\mathbb Q)|$ como un subgrupo de $S_p$ la condición de $G$ implica $|G|=30,40,60,120$ ; si $|G|=60$ o $120$ entonces corresponden a los grupos no resolubles $S_5$ o $A_5$ Así que $f(x)$ no es solucionable entonces. Así que sólo queda $|G|=30, 40$ pero como cualquier grupo de orden $30, 40$ es soluble, para demostrar la afirmación afirmativa debemos mostrar que el grupo de Galois de cualquier polinomio quíntico no puede ser $30$ o $40$ . No sé cómo proceder a partir de aquí. ¿O hay algún otro enfoque?

Por favor, ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Su estado $[E:\mathbb Q] > 24$ implica claramente que el quíntico es irreducible.

Por este resultado (debido al propio Evariste Galois) un polinomio irreducible de grado primo es solucionable si y sólo si su campo de división se obtiene uniendo dos raíces. Si se unen dos raíces de un quíntico, se obtiene una extensión de campo de grado $\leq 20$ . Por lo tanto, la condición $[E:\mathbb Q] > 24$ produce que el polinomio no es resoluble.

Answer 2

Es evidente que basta con demostrar que $S_5$ no tiene un subgrupo de orden $30$ o $40$ .

Para ver que $S_5$ no tiene ningún subgrupo de orden $30$ podemos proceder como sigue: La combinatoria fácil muestra que $S_5$ contiene $20$ 3 ciclos, por lo tanto $10$ subgrupos de 3-Sylow, por lo que el normalizador de un subgrupo de 3-Sylow tiene índice $10$ Por lo tanto $12$ elementos. Ahora dejemos que $G$ sea un grupo de 30 elementos. Las únicas posibilidades para el número 3-Sylow subgrupos son $1$ y $10$ . Si hay un 3-Sylowsubgrupo, el normalizador de éste debe ser el conjunto de $G$ . Ahora bien, si $G$ se incrusta en $S_5$ entonces el normalizador del subgrupo 3-Sylow en $G$ es un subgrupo del normalizador del mismo subgrupo 3-Sylow en $S_5$ pero esto implica que $30 | 12$ por el teorema de Lagrange que es absurdo. Supongamos que hay $10$ 3-Sylow subgrupos, entonces hay $20$ elementos de orden $3$ en $G$ . Esto obliga a que el número de $5$ -Los subgrupos de bajos para ser $1$ , ya que si no $G$ tendría demasiados elementos. Ahora bien, si sólo hay un subgrupo de 5-Sylow, entonces el normalizador de este subgrupo de 5-Sylow es $G$ pero el normalizador de un subgrupo 5-Sylow en $S_5$ tiene $20$ elementos, por lo que es imposible que $G$ se incrusta en $S_5$ .

Para ver que un grupo $G$ de orden $40$ no se incrusta en $S_5$ es aún más fácil, porque los teoremas de Sylow obligan a que el número de subgrupos de 5-Sylow sea $1$ por lo que el normalizador del subgrupo 5-Sylow es $G$ pero el normalizador de un subgrupo 5-Sylow en $S_5$ tiene 20 elementos, lo que implicaría $40 | 20$ por el teorema de Lagrange.