Fluctuaciones de la función de riesgo en valores altos (x)

Question

Utilizando un algoritmo de mejor ajuste, he obtenido MLEs de parámetros de distribución gamma para mis datos (escala y forma). Al evaluar la función de riesgo, calculada como la PDF dividida por la CDF recíproca, sobre valores grandes de (x), la función empieza a fluctuar y a romperse:

¿Cuál es la causa de que esto ocurra?

En segundo lugar : ¿Existe una manera de estimar el valor máximo (y) de la curva de la función de riesgo antes de esta zona de fluctuación sin calcular realmente la curva en su totalidad? es decir, aquí, estimando un valor de ~2,4.

Answer 1

Este tipo de fluctuación salvaje se debe a errores de redondeo en coma flotante en los cálculos.

La función de riesgo de un $\Gamma(a,1)$ con el parámetro de forma $a$ y el parámetro de escala $1$ , es igual a

$$H(x; a) = \frac{x^{a-1}\exp(-x)}{\int_x^\infty t^{a-1} \exp(-t) dt }.$$

El máximo solicitado en la pregunta es también el valor límite ya que $x\to\infty$ porque la función de riesgo en este caso es creciente.

Tanto el numerador como el denominador son funciones diferenciables que se aproximan a cero como $x$ aumenta, por lo que se aplica la Regla de L'Hopital, que nos dice que el valor límite de la relación es el límite de la relación de las derivadas:

$$\lim_{x\to\infty} H(x;a) = \lim_{x\to\infty}\frac{\exp(-x)\left((a-1)x^{a-2} - x^{a-1}\right)}{-x^{a-1}\exp(-x)} = \lim_{x\to\infty} 1 - \frac{a-1}{x} = 1.$$

Cuando la escala se cambia a $b$ el PDF debe ser dividido por $b$ para compensar (para mantener el área total igual a la unidad), lo que implica el valor límite de la función de riesgo para una distribución Gamma con parámetro de escala $b$ es $1/b$ .

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Una forma mejor de calcular esta función de riesgo para grandes $x$ es utilizar los primeros términos de su expansión de Taylor en torno a $x=\infty$ :

$$H(x;a,b) \approx x^{-a} \left(\frac{(a-1) \left(\frac{1}{b}\right)^{-a-1}}{x^2}-\frac{(a-1) \left(\frac{1}{b}\right)^{-a}}{x}+\left(\frac{1}{b}\right)^{1-a}\right ) \left(\frac{x}{b}\right)^a.$$

Esto será extremadamente preciso mucho antes de $x$ es tan grande que el cálculo de la relación por fuerza bruta se rompe. Por supuesto, no es preciso para pequeño $x$ .