¿Cómo resolver esta ecuación diferencial de primer orden (no lineal)?

Question

Estoy atascado en este problema.

$\frac { dy }{ dx } =\frac { 5{ x }^{ 3 }-x{ y }^{ 2 }-2x }{ 3{ x }^{ 2 }y-{ y }^{ 3 } } $

Intenté tomar x común del numerador e e del denominador e hice la sustitución

$3{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }=t$

Después de diferenciar wrt x , obtuve la siguiente Eqaution diferencial

$\frac { dt }{ 4xdx } =\frac { t-{ x }^{ 2 }+1 }{ t } $

No se que hacer. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

$$\frac { dy }{ dx } =\frac { 5{ x }^{ 3 }-x{ y }^{ 2 }-2x }{ 3{ x }^{ 2 }y-{ y }^{ 3 } }$$ is equivalent to $$ x(5{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }-2)dx= y( 3{ x }^{ 2 }-{ y}^{ 2 })dy\tag {1} $$ Let $ u = x ^ 2$ and $ v = y ^ 2$ to transform $ (1)$ into $$ (5u-v-2)du+(v-3u)dv=0\tag{2}$ $ Que es fácil de resolver