Continuando con la respuesta de Martin, aquí hay una lista más larga de propiedades que son preservadas por cualquier auto-equivalencia de FinGrp:
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El entramado de subgrupos se conserva, en particular los infimos (=intersecciones) y los supremos (=subgrupo generado por subgrupos más pequeños) se conservan.
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Como se observa, la estructura normal se conserva: $H\hookrightarrow G$ es normal si es el núcleo de diferencia de alguna flecha $G\to X$ con la flecha trivial $G\to X$ . Los cocientes se conservan por la propiedad universal de los cocientes.
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En particular, son nilpotentes (los grupos bajos son normales), supersolubles ( $\exists$ series normales con cocientes cíclicos), solubles ( $\exists$ series subnormales con cocientes abelianos) se conservan los grupos.
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Para los grupos solubles podemos decir más: El grupo conmutador se conserva (subgrupo normal mínimo con cociente abeliano), por lo que la serie derivada se conserva.
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El centro es el subgrupo normal máximo $Z\leq G$ tal que $ZH$ es abeliano para todos los subgrupos cíclicos $H\leq G$ . Por lo tanto, se conservan las series centrales superior e inferior.
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Los subgrupos normales definidos en términos de estas nociones como $O_p$ , $O_\pi$ , $O^p$ , $O^\pi$ el subgrupo de ajuste $F(G)$ etc. se conservan.
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Dado que se conservan los centros, se conservan las extensiones centrales y los multiplicadores de Schur. En particular, se conservan los grupos cuasi-simples (=perfectos, extensión central de simples).
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Por lo tanto, los componentes (= subgrupos subnormales y cuasi simples) se conservan y, por lo tanto, el subgrupo generalizado Fitting $F^\ast(G)$ .
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El subgrupo Frattini (=intersección de todos los subgrupos máximos) se conserva.
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El centralizador $C_G(H)$ es el subgrupo generado por todos los subgrupos cíclicos $\langle z\rangle\leq G$ tal que $\langle z\rangle$ y $\langle h\rangle$ generan un subgrupo abeliano para todos los subgrupos cíclicos $\langle h\rangle \leq H$ .
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Esto debería implicar que la clase de isomorfismo de cada grupo simple es fija. Sin embargo, no he comprobado todos los detalles.
Esto sugiere que la "parte no solucionable" de la teoría de grupos se conserva por completo. Las cosas pueden complicarse mucho más para $p$ -ya que hay demasiados grupos y muy pocos invariantes para distinguirlos realmente. Bueno, empecemos de todos modos:
- El orden, la clase y la coclase se conservan
- Para los grupos de coclase pequeña existe un proyecto de clasificación de Bettina Eick, Max Horn et.al. Debería implicar que las clases de isomorfismo de los grupos 2 de coclase $\leq 3$ son fijos, etc.
EDITAR 1:
Lema: La clase de isomorfismo de todo grupo Coxeter finito es fija.
Prueba: Recuerda que un grupo Coxeter es un grupo $W$ que es generado por un conjunto de involuciones $S\subseteq W$ (=un conjunto de subgrupos de tamaño 2) módulo las relaciones $(st)^{m_{st}}=1$ para algunos $m_{st}=m_{ts}\in\mathbb{N}$ (con $m_{ss}=1$ por supuesto, de lo contrario s no sería una involución). Estas relaciones se pueden reformular de forma equivalente como " $W$ está generado por subgrupos cíclicos $\langle s\rangle$ de orden 2, $\langle s\rangle$ y $\langle t\rangle$ generar un grupo de tamaño $2m_{st}$ para todos $s,t$ y $W$ es maximalista con esta propiedad". Con esta descripción queda claro que cualquier grupo Coxeter es mapeado a un grupo Coxeter.
De hecho: si $\{\langle s\rangle\to W | s \in S\}$ es un conjunto generador Coxeter, entonces el isomorfismo único (!) $\langle s\rangle \to \mathcal{F}(\langle s\rangle)$ se extiende a un isomorfismo $W\to\mathcal{F}(W)$ para cada autoequivalencia $\mathcal{F}:FinGrp\to FinGrp$ y estos isomorfismos son compatibles con los subgrupos parabólicos.
En particular, obtenemos una secuencia de isomorfismos $Sym(n)\to\mathcal{F}(Sym(n))$ que conmutan con las incrustaciones estándar $Sym(n)\to Sym(n+1)$ .
EDITAR 2:
Lemma 2: (Interior) Los grupos de automorfismo (como objeto dentro de FinGrp, ¡no como conjuntos de morfismos!) se conservan.
Prueba: Fijar $N$ y considerar la división, secuencias exactas $1\to N\to G \leftrightarrows A\to 1$ . Cada una de estas secuencias $S$ induce un morfismo $\kappa_S : A\to Aut(N)$ . Consideremos ahora todos los morfismos (=flechas $N\to N$ , $\alpha:G\to G'$ , $\beta:A\to A'$ tal que todo conmuta) entre tales secuencias $S,S'$ donde $N\to N$ es la identidad. Se verifica que $\kappa_{S'}(\beta(a)) = \kappa_S(a)$ para todos $a\in A$ .
La secuencia $1\to N\to N\rtimes Aut(N)\to Aut(N)\to 1$ es un objeto terminal en la categoría de estas secuencias. El único morfismo desde cada secuencia hasta ella es inducido por el $\kappa_S$ como se puede comprobar fácilmente.
Una secuencia $1\to N\to G\to A\to 1$ es una secuencia con $A\leq Inn(N)$ si $G=N\cdot C_G(N)$ .
QED.
EDITAR 3:
Creo que ya casi hemos llegado. Por cada prima $\ell$ la categoría de dimensión finita $\mathbb{F}_\ell[G]$ -se preserva mediante autoequivalencias:
A $\mathbb{F}_\ell[G]$ -módulo es lo mismo que una secuencia exacta dividida $1\to V\to X\leftrightarrows G\to 1$ con $V$ abeliana y $\ell$ -torsión. A $G$ -mapa lineal $V\to W$ es lo mismo que un morfismo entre las dos secuencias que es la identidad en $G$ . Si se abandona la condición de $\ell$ -y toma límites proyectivos, se describen de forma similar las categorías de $\mathbb{Z}_\ell[G]$ -módulos.
Por lo tanto, sabemos que todos estos anillos de grupo para $G$ y $\mathcal{F}G$ son equivalentes a morita.
De hecho, esto muestra algo más fuerte: Toda autoequivalencia $\mathcal{F}:FinGrp\to FinGrp$ induce una equivalencia $\mathbb{F}_\ell[G]-mod\to\mathbb{F}_\ell[\mathcal{F}G]-mod$ que preserva los espacios vectoriales subyacentes (puesto que ya sabemos que $\mathcal{F}$ es equivalente a la identidad en grupos abelianos). El Entrada de nLab sobre la dualidad Tannaka nos dice que esto es suficiente para obtener un isomorfismo de los anillos del grupo que debería ser (no he comprobado todos los detalles) natural.
Además se conserva la representación trivial en cada una de estas categorías: es la secuencia $1\to V\to X\leftrightarrows G\to 1$ con $V\cong C_p$ que tiene un repliegue $X\to V$ tal que $1\leftarrow V\leftarrow X\leftarrow G\leftarrow 1$ también es exacta. ¿Alguien ve cómo caracterizar representaciones duales y productos tensoriales de representaciones? En ese caso podríamos obtener el isomorfismo para los grupos y no sólo para los anillos de grupo.
