Transformaciones de Laplace

Question

¿puede alguien ayudarme con estas pocas preguntas? :)

Encuentre $L{e^tf(t)}$ en términos de $f*(s)$ y declarar una serie de $s$ que se define esto.

No pude entender esto. Utiliza la definición pero luego me sale $e^t(1-s)f(t)$ y luego no sé qué hacer....

Utilizando el Teorema de Convolución, encuentra la función f(t) que satisface la ecuación

$$f(t) = \int_0^t e^u f(t-u)\mathrm du + e^t$$

Sé cómo tomar la LT de ambos lados. Sin embargo, no estoy seguro de cómo calcular la LT de la integral. Ive para f(s) = algo + 1/(s-1) por el momento.

Answer 1

La solución a la primera pregunta se deduce fácilmente de la definición: ¿Se puede llevar $\int_0^\infty {e^{ - st} e^t f(t)\,dt}$ en la forma $\int_0^\infty {e^{ - s't} f(t) \,dt}$ ? (Tenga en cuenta la pista que ya se le dio anteriormente).

La solución a la segunda pregunta se deduce fácilmente del Teorema de Convolución. Se quiere encontrar $f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ que satisface la ecuación $$ f(t) = \int_0^t {e^u f(t - u)\,du} + e^t, \;\; t \geq 0. $$ Su enfoque es correcto. Tomando la transformada de Laplace en ambos lados se obtiene $$ \hat f(s) = \hat \varphi (s) + \frac{1}{{s - 1}},\;\; s > 1, $$ donde $\hat \varphi$ es la transformada de Laplace de la convolución $$ (f*e^t )(t) = \int_0^t {e^u f(t - u)\,du} \,\bigg(= \int_0^t {f(u)e^{t - u}\,du}\bigg). $$ (Nótese que el límite superior de la integral es $t$ para satisfacer $t-u \geq 0$ .) El teorema de la convolución establece que la transformada de Laplace de una convolución es el producto de las transformadas de Laplace de las funciones individuales. Por lo tanto, $$ \hat \varphi(s) = \hat f(s) \frac{1}{{s - 1}}. $$ Ahora puedes resolver para $\hat f(s)$ y, a su vez, por inversión (suponiendo que $s > 2$ ), encontrar $f(t)$ .

Nota: Después de encontrar $f(t)$ , verifique que satisface la ecuación original. Esto es muy fácil de hacer; de hecho $f(t)$ es sólo ligeramente diferente de $e^t$ (en forma).

EDITAR (completando la solución; ver Observación más abajo):

Resolver para $\hat f(s)$ da $$ \hat f(s) = \frac{1}{{s - 2}}. $$ Suponiendo que $s > 2$ se deduce por inversión que $f(t)=e^{2t}$ . De hecho, este $f$ satisface la ecuación original; es decir $$ e^{2t} = \int_0^t {e^u e^{2(t - u)} \,du} + e^t ,\;\; t \geq 0. $$

Observación. A la vista de los comentarios de la OP, parece que el factor $u$ se olvidó en el término de convolución de la ecuación original. Ahora se ha publicado una solución al problema modificado.

Answer 2

Aquí hay una solución detallada al problema modificado -sustancialmente más desafiante- (ver los comentarios del OP debajo de la respuesta anterior; en particular, allí se indica que esto no es una tarea).

Para encontrar $f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ que satisface la ecuación $$ f(t) = \int_0^t {u e^u f(t - u)\,du} + e^t, \;\; t \geq 0, $$ comience, como en la respuesta anterior, escribiendo $$ \hat f(s) = \hat \varphi (s) + \frac{1}{{s - 1}},\;\; s > 1, $$ donde esta vez $\hat \varphi$ es la transformada de Laplace de la convolución $$ (f*te^t )(t) = \int_0^t {ue^u f(t - u)\,du} \,\bigg(= \int_0^t {f(u)(t-u)e^{t - u}\,du}\bigg). $$ Por el teorema de convolución, $$ \hat \varphi(s) = \hat f(s) \frac{1}{{(s - 1)^2 }}. $$ Cabe señalar que el término $1/(s-1)^2$ puede derivarse como sigue, recordando que una variable aleatoria exponencial con función de densidad $\lambda e^{-\lambda t}$ , $t \geq 0$ tiene una media igual a $1/\lambda$ (aquí $\lambda = s -1 > 0$ ): $$ \int_0^\infty {e^{ - st} te^t \,dt} = \frac{1}{{s - 1}}\int_0^\infty {t(s - 1)e^{ - (s - 1)t} \,dt} = \frac{1}{{(s - 1)^2 }}. $$ Resolver para $\hat f(s)$ (utilizando la expresión anterior para $\hat \varphi(s)$ ) da $$ \hat f(s) = \frac{{s - 1}}{{s^2 - 2s}} = \frac{{(s - 2) + 1}}{{s(s - 2)}} = \frac{1}{s} + \frac{1}{{s(s - 2)}} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s}\frac{1}{{s - 2}}. $$ Suponiendo que $s > 2$ se deduce por inversión (y por el Teorema de Convolución) que $$ f(t) = 1 + (1 * e^{2t})(t),\;\; t \geq 0. $$ (De hecho, hay que tener en cuenta que $\int_0^\infty {e^{ - st} 1\,dt} = \frac{1}{s}$ y $\int_0^\infty {e^{ - st} e^{2t} \,dt} = \frac{1}{{s - 2}}$ .) Por último, desde $$ (1 * e^{2t})(t) = \int_0^t {e^{2u} 1\,du} \,\bigg( = \int_0^t {1e^{2(t - u)} \,du} \bigg) , $$ se deduce que $$ f(t) = 1 + \frac{{e^{2t} - 1}}{2} = \frac{{e^{2t} + 1}}{2},\;\; t \geq 0. $$ De hecho, este $f$ satisface la ecuación original; es decir, como se puede comprobar fácilmente, se cumple $$ \frac{{e^{2t} + 1}}{2} = \int_0^t {ue^u \frac{{e^{2(t - u)} + 1}}{2}\,du} + e^t . $$

EDITAR (en respuesta al comentario del OP más abajo). Mientras se invierte $1/s$ da $1$ e invirtiendo $1/(s-2)$ da $e^{2t}$ , invirtiendo $1/(s(s-2))$ no da el producto de $e^{2t}$ y $1$ sino que, por el Teorema de la Convolución, da la convolución de $e^{2t}$ y $1$ . Desde $(1 * e^{2t})(t) = \frac{{e^{2t} - 1}}{2}\,( = \int_0^t {e^{2u} \,du} )$ , $$ f(t) = 1 + \frac{{e^{2t} - 1}}{2} = \frac{{e{}^{2t} + 1}}{2} $$ (que se verificó mediante la sustitución en la ecuación original). Sin embargo, como observó el OP, la solución puede obtenerse de forma más elemental dividiendo $\hat f(s)$ en fracciones parciales. Específicamente, $$ \hat f(s) = \frac{{s - 1}}{{s^2 - 2s}} = \frac{1}{{2s}} + \frac{1}{{2(s - 2)}}, $$ de lo que se deduce, por inversión, que $$ f(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^{2t} = \frac{{e^{2t} + 1}}{2}. $$