Supongamos que$|G|=p^nm$ donde$p$ es primo y$\gcd(p,m)=1$. Supongamos que$H$ es un subgrupo normal de$G$ del pedido$p^n$.

Question

Deje $|G|=p^nm$ donde $p$ es un primer e $\gcd(p,m)=1$.Supongamos que $H$ es un subgrupo normal de $G$ orden $p^n$. SI $K$ es un subgrupo de $G$ orden $p^k$, muestran que $K \subseteq H$.

Intento: Dado que el $|G|=p^nm$ $gcd(p,m)=1 => \gcd(p^n,m)=1$

$H \triangleleft G =>g^{-1}hg \subseteq H~~ \forall ~~g\in G, h\in H$

$G/H=\{gH ~~\forall~~g \in G \}$ y, a continuación, $|G/H|=p^nm/p^n=m$

Ahora, $O(gH)~~|~~O(g)$ $O(g)~~|~~p^nm$

$=> O(gH)~~|~~p^nm ..........(1)$

$O(gH)~~|~~m ....... (2)$

( Del Teorema de Lagrange, $gH$ es un elemento en el $G/H$$O(gH) ~~|~~|G/H|$$|G/H|=m$)

Desde $\gcd(p^n,m)=1 => O(gH)= r$ s.t. $r$ divide $m$. $=> g^r \in H$

Si podemos mostrar que $\exists h_1,h_2 \in H$ s.t. $k=h_1h_2$ , a continuación, nuestro resultado puede ser probado o si demostramos que $K$ es un subgrupo normal en $H$$|H : K|=1$, entonces también podemos probar el resultado

¿Cómo debo proceder en adelante. La ayuda será apreciada.

Gracias.

Answer 1

Insinuación: $HK/H \cong K/(H \cap K)$.

Answer 2

Dado que la afirmación sigue (y se demuestra a lo largo) los teoremas estándar de Sylow, presumiblemente, no estamos autorizados a usar eso.

Consejos:

• Dado que$H\unlhd G$ muestra que$KH=\{kh\mid k\in K, h\in H\}$ es un subgrupo de$G$.
• Muestre contando los cosets de$H$ dentro de$KH$ que el orden de$KH$ es$|KH|=|H|\cdot [K:H\cap K]$. Este es un poder de$p$.
• Aplicar el teorema de Lagrange.