Puntos de condensación y conjuntos derivados

Question

Deje que $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto y $C$ ser el conjunto de puntos de condensación de $X$ . Siguiendo las anotaciones aquí es la igualdad $ \bigcap\limits_ {n \geq 1} X^{(n)}=C$ ¿verdad?

Logré mostrar la inclusión $C \subset \bigcap\limits_ {n \geq 1} X^{(n)}$ pero la otra inclusión parece ser más difícil.

¿Tienes alguna idea?

Answer 1

Considere el ordinal $X=\omega^\omega+1$ con topología de orden. Es un ordinal sucesorio, por lo que es compacto. También es contable, por lo que es metrizable, y no tiene puntos de condensación (se puede ver bien utilizando el hecho abstracto de que un espacio de Hausdorff compacto y contable es polaco, o el hecho de que cualquier ordinal contable se incrusta en los racionales como un conjunto totalmente ordenado).

Por otro lado, observe que $X'$ es el conjunto de ordinales límite dentro de $X$ . De la misma manera, $X''$ es el conjunto de límites de los ordinales del límite, etc., por lo que para cualquier $n$ tenemos $\omega^n\in X^{(n)}$ y para $X^{(\omega)}=\bigcap_n X^{(n)}$ tenemos $\omega^\omega\in X^{(\omega)}$ Así que $X^{(\omega)}\neq C=\emptyset$ .

Por otro lado, por el teorema de Cantor-Bendixson, podemos ver que para cualquier espacio compacto metrizable (de hecho, cualquier espacio polaco), existe un ordinal contable $\alpha$ tal que $X^{(\alpha)}=X^{(\infty)}=P=C$ que es $\omega+1$ en el caso anterior (el mínimo tal $\alpha$ se denomina rango de Cantor-Bendixson, y es de interés, por ejemplo, en la teoría de modelos, donde es una de las interpretaciones del rango de Morley).

Answer 2

De hecho, la inclusión se puede deducir de la propiedad: Para todo subconjunto cerrado perfecto no vacío $P \subset X$ existen dos subconjuntos perfectos no vacíos, cerrados y disjuntos $P_1,P_2 \subset P$ . Así, se puede construir una inyección a partir de $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ en cualquier vecindad de un elemento de $\bigcap\limits_{n \geq 1 } X^{(n)}$ .

EDIT: Como dijo tomasz, la construcción funciona sólo si $X$ tiene un número finito de puntos aislados.