Demuestra esta desigualdad para cada$n\ge{1}$
PS
Intento demostrarlo con la simplificación de esta desigualdad, pero no encuentro el camino correcto para encontrar una solución.
Respuesta
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Comenzamos con las representaciones del producto$${2n\choose n}{1\over 2^{2n}}={1\over 2n}\prod_{j=1}^{n-1}\left(1+{1\over 2j}\right)=\prod_{j=1}^n\left(1-{1\over2j}\right),\quad n\geq1.$ $
De$$ \prod_{j=1}^{n-1}\left(1+{1\over 2j}\right)^{\!\!2}=\prod_{j=1}^{n-1}\left(1+{1\over j}+{1\over 4j^2}\right)\geq \prod_{j=1}^{n-1}\left(1+{1\over j}\right)=n,$ $ vemos que $$ \ se fue ({2n \ elige n} {1 \ sobre 2 ^ {2n}} \ derecha) ^ {2} = {1 \ sobre (2n) ^ 2} \ , \ prod_ {j = 1} ^ {n-1} \ left (1+ {1 \ over 2j} \ right) ^ {\! \! 2} \ geq {1 \ over 4n ^ 2} \, n = {1 \ sobre 4n}, \ quad n \ geq1. $$ así que al tomar raíces cuadradas,${2n\choose n}{1\over 2^{2n}}\geq \displaystyle{1\over 2\sqrt{n}}\ge \frac{1}{4\sqrt{n}+2}.$
