Importancia de la "pequeñez" en una categoría, y categorías de funtores

Question

Siento que, habiendo pasado un poco de tiempo haciendo teoría de categorías ahora, esto es probablemente una pregunta tonta, pero sigo llegando a muchas cosas (definiciones, ejemplos, etc.) donde pequeñez es necesario. No consigo ver por qué es así: Puedo ver por qué la pequeñez (o la pequeñez local) es una propiedad útil, pero a menudo no por qué es necesaria, suponiendo que lo sea.

Por ejemplo, la siguiente definición de la categoría de presheaves

http://ncatlab.org/nlab/show/category+de+presas

requiere $\mathcal{C}$ sea una categoría pequeña para definir la categoría del functor $[\mathcal{C}^{\text{ op}}, \bf{Set}]$ . Una serie de ejercicios que he intentado, como

"Dejemos $\mathcal{C}$ sea una categoría pequeña y A abeliana. Demuestre que la categoría del functor $[\mathcal{C}, A]$ es abeliano".

"Dejemos $\mathcal{C}$ sea una categoría tal que, para cada objeto $c$ la categoría de la tajada $\mathcal{C}\,/c$ es equivalente a una categoría pequeña, aunque $\mathcal{C}$ puede no ser pequeño. Demuestre que la categoría del functor $[\mathcal{C}^{\text{ op}}, \bf{Set}]$ es un topos elemental".

requieren que la pequeñez sea un supuesto. Hay muchos otros ejemplos que probablemente pueda sacar a relucir si es necesario. Parece que, en general, muchos de estos requisitos implican de algún modo categorías de funtores. ¿Hay alguna definición mucho más básica (algo extremadamente fundamental como un functor o una transformación natural) que requiera un conjunto en lugar de una clase en algún lugar, que podría estar surgiendo y causando todos estos casos? Obviamente, para la contigüidad se requiere una biyección entre morfismos $FA \to B$ y $A \to GB$ pero, aunque las biyecciones suelen ser entre conjuntos, supongo que también se puede definir una de forma segura entre clases de manera similar.

Sé que el homfuntor requiere $\mathcal{C}$ sea localmente pequeño antes de poder definir el functor $\mathcal{C} \to \bf{Set}$ ya que, por supuesto, el mapa no necesariamente tomaría las cosas en $\bf{Set}$ por otra parte, y todo esto se traslada al lema de Yoneda, pero ¿es realmente la causa de todos estos requisitos de pequeñez? A menudo estamos hablando de una colección de todos los funtores posibles, en lugar de especificar sólo uno, así que, en general, ¿es sólo el caso de que cuando se trata de un functor necesitamos que una categoría sea lo suficientemente pequeña para saber que definitivamente obtenemos conjuntos que salen del otro lado? ¿O hay algo más que no he notado? ¿Por qué es tan importante la pequeñez y la pequeñez local? El primer ejercicio que propuse no era para los funtores que mapean en $\bf{Set}$ Después de todo.

Obviamente, no vas a conocer todos los ejemplos de momentos en los que he notado una suposición de pequeñez y, para ser honesto, probablemente he olvidado muchos de ellos, pero cualquier idea general que pudieras aportar sobre el asunto sería muy bien recibida. Como guía, he completado un primer curso bastante profundo en Teoría de Categorías y actualmente estoy realizando uno en Teoría de Topos, si eso ayuda a calibrar el nivel de complejidad con el que probablemente me he encontrado.

Answer 1

Mi impresión (como persona ajena) es que los supuestos de pequeñez no se consideran importantes en absoluto dentro de la propia teoría de las categorías. Están ahí sólo para garantizar que los resultados puedan formalizarse en la teoría de conjuntos estándar, y no codifican ninguna idea intuitiva en particular. En la mayoría (probablemente en todas) las aplicaciones concretas de los resultados, es fácil argumentar que todas las categorías implicadas son lo suficientemente pequeñas como para que las cosas funcionen de todos modos.

Al igual que las dictaduras que tradicionalmente se autodenominan República Democrática de $X$ Porque en general se espera que los países quieran ser democracias, los teóricos de la categoría se mantienen obedientemente al tanto de sus supuestos de pequeñez, porque en general se espera que las disciplinas matemáticas quieran ser expresables en ZFC. Pero no es que se preste especial atención a esto internamente .

Answer 2

Las condiciones de pequeñez en la teoría de categorías aparecen en varias situaciones. Una de ellas es la de asegurar la existencia de ciertas construcciones. Esto incluye los casos más elementales de (como has mencionado) la formación de categorías de funtores, pero también para las construcciones de adjuntos (es decir, la solución set condición en el teorema del functor adjunto de Freyd, con un enorme énfasis aquí en la palabra "conjunto"). Una aplicación más avanzada de una construcción categórica que implique condiciones de conjunto es en el álgebra homotópica. Establecer una estructura de modelo de Quillen puede ser muy difícil. Se simplifica enormemente (aunque típicamente sigue siendo difícil) construir una estructura de modelo de Quillen mediante una generación cofibrante. En este caso hay que proporcionar conjuntos (y no sólo clases) de ciertas flechas con determinadas propiedades. Si estos conjuntos existen, la estructura del modelo está garantizada. Si tales clases de flechas son clases propias y no conjuntos, entonces no se garantiza una estructura de modelo.

Otro aspecto de las condiciones de pequeñez es asegurar que ciertas condiciones categóricas no obliguen a la degeneración. Por ejemplo, se sabe que cualquier categoría que admite todos los productos, no sólo los productos indexados por conjuntos, es un poset. Por eso se suelen considerar categorías completas pequeñas (y cocompletas pequeñas).

Para concluir, la pequeñez en la teoría de las categorías desempeña un papel crucial en diferentes aspectos. Para algunos de estos aspectos, una suposición tácita de universos de Grothendieck es suficiente para esconder todas las cuestiones de tamaño bajo la alfombra y seguir felizmente con su negocio. En otras situaciones los problemas de tamaño juegan un papel muy importante que no puede ser "empujado a un universo superior".