Dirichlet producto de distintos factores primos y la función de Möbius.

Question

En la teoría numérica analítica del libro de texto de Apostol en la página$47$, Ejercicio$5$ tenemos lo siguiente:

Defina$v(1)=0$, y para$n>1$ deje que$v(n)$ sea el número de factores primos distintos de$n$. Deje que$f=\mu*v$ y demuestre que$f(n)$ es$0$ o$1$.

El símbolo$*$ se toma como el producto Dirichlet.

Traté de dividir los casos en si$n$ es cuadrado libre o no. Pero no puedo encontrar nada. Por favor ayúdame a resolverlo.

Answer 1

Llamemos a $ \ omega \ left (n \ right)$ the function that count the number of distinct prime factors of $ n$. We have that $ $ \ sum_ {d \ mid n} \ delta_ {p} \ left (d \ right) = \ omega \ left (n \ right)$$ where $ $ \ delta_ {p} \ left (d \ right) = \begin{cases} 1, & d=p,\, p\textrm{ is a prime number}\\ 0, & \textrm{otherwise} \end {cases}$$ and we have done since, by Möbius inversion formula, we get $$f\left(n\right)=\sum_{d\mid n}\mu\left(d\right)\omega\left(\frac{n}{d}\right)=\delta_{p}\left(n\right).$ $

Answer 2

Esto también se puede hacer uso de Dirichlet de la serie. Empezar con

$$L_1(s) = \sum_{n\ge 1}\frac{\mu(n)}{n^s} = \prod_p\left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \frac{1}{\zeta(s)}.$$

Además de introducir

$$L_2(s) = \sum_{n\ge 1}\frac{\omega(n)}{n^s} = \left. \left(\prod_p\left(1+\frac{a}{p^s}+\frac{a}{p^{2}}+\cdots\right) \right)'\right|_{a=1}.$$

Aquí el derivado con respecto a $a.$ Continuar,

$$\left. \left(\prod_p\left(1+\frac{1/p^s}{1-1/p^s}\right) \right)'\right|_{a=1} \\ = \left. \left(\prod_p\left(1+\frac{1/p^s}{1-1/p^s}\right) \sum_p \frac{\frac{1/p^s}{1-1/p^s}} {1+\frac{1/p^s}{1-1/p^s}} \right)\right|_{a=1} \\ = \zeta(s) \sum_p \frac{1/p^s}{1-1/p^s+1/p^s} = \zeta(s) \sum_p \frac{1}{p^s}.$$

De hecho, esta última ecuación podría haber sido obtenida por la inspección. Es se sigue que

$$L(s) = \sum_{n\ge 1} \frac{(\mu\estrellas\omega)(n)}{n^s} \\ = L_1(s) L_2(s) = \sum_p \frac{1}{p^s} = \sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^s} [[n\;\text{es primo}]]$$

como se reivindica.