Deje que$(R,m)$ sea un anillo local. Deje que$x_1,...,x_d$ sea una secuencia máxima de$R$. ¿Es$\operatorname{Hom}_R(R/m,R/(x_1,...,x_d))$ isomorfo a$R/m$?
Respuesta
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Si $(R,m)$ es un anillo local y $M$ $R$- módulo, es cierto que $\Phi(M) = Hom_R(R/m,M) \cong \left\{x \in M: \, mx =0\right\}$. $\Phi(M)$ es llamado el "zócalo" de $M$ por algunos autores, por ejemplo, por Bruns & Herzog. Tenga en cuenta que el zócalo es siempre un $R/m$-espacio vectorial.
No creo que el estado de la cuestión para ser verdad, ya que de lo contrario, el zócalo $\Phi(R)=\left\{x \in R : \, m x =0 \right\}$ de cualquier Artinian anillo local $(R,m)$ $1$- dimensiones: la única máxima $R$-secuencia de una Artinian anillo local es la secuencia vacía y la declaración implica que la $\Phi(R) \cong R/m$.
Aquí es un contraejemplo: Vamos a $R = k[x,y] / (x^2,xy,y^2)$. A continuación, $R$ es artinian local con ideal maximal $m=(\bar{x},\bar{y})$. Su zócalo es la parte homogénea de $R$ grado $1$ y esto ha dimensión $2$ $k$- espacio vectorial.
