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¿Cuándo el complemento de un hipercubo será bipartito?

Sé que todo hipercubo es bipartito, pero me pierdo cuando se trata de sus complementos... Intento partir del teorema de que "Un grafo es bipartito si y sólo si no contiene ningún ciclo impar", pero me cuesta visualizar exactamente cuándo un hipercubo tiene ciclos Impares. Cualquier pista para abordar esto sería apreciada.

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JSX Puntos 62

Los vértices $(\color{red}{0,0,0},0,\cdots)$ , $(\color{red}{1,1,0},0,\cdots)$ , $(\color{red}{1,0,1},0,\cdots)$ formará un $3-$ ciclo.

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Un punto de partida de esto: Sí, el hipercubo puede pensarse geométricamente como un $n$ objeto dimensional. Pero cuando tratas de entender y trabajar con el hipercubo gráfico A menudo es más fácil trabajar directamente con la definición en términos de $0$ s y $1$ s en lugar de intentar visualizar geométricamente un objeto de alta dimensión.

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bof Puntos 19273

La pregunta es, ¿para qué valores de $n$ el gráfico $\overline Q_n$ el complemento del cubo $Q_n,$
es $2$ -colable (es decir, bipartita).

Usted sabe que $Q_n$ es $2$ -colable y tiene $2^n$ vértices. En un $2$ -coloración de $Q_n,$ hay $2^{n-1}$ vértices de cada color. El $2^{n-1}$ los vértices de un color forman una camarilla en el gráfico complementario $\overline Q_n,$ así que $\chi(\overline Q_n)\ge2^{n-1}.$ Por lo tanto, $\overline Q_n$ no es $2$ -colocable cuando $n\ge3.$

De hecho, es bastante fácil ver que $\chi(\overline Q_n)=2^{n-1}$ para todos $n\ge1,$ de donde $\overline Q_n$ es $2$ -colable si y sólo si $n\le2.$

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