En $A^nx=\lambda ^n x$ solicitar $n$ más pequeño que $-1$ (suponiendo que $A$ es invertible)?

Question

Puedo demostrar (probando 3 casos distintos) que $Ax=\lambda x$ para el caso de que sea distinto de cero $x$ e invertible $A$ implica que $A^nx=\lambda ^n x$ para todos los enteros $n$ mayor o igual que $-1$ . Estaba tratando de extender este teorema al resto de los enteros negativos, pero me encontré con un obstáculo porque $A$ invertible no implica $A^n$ invertible. Así que parece que mi prueba original era tan general como puede ser. Sin embargo, ¿es correcto mi razonamiento? Gracias.

Answer 1

$A$ invertible sí implica $A^n$ invertible, ya que $$A \text{ invertible }\iff \det(A)\neq 0\iff \det(A)^n\neq 0\iff \det(A^n)\neq 0\iff A^n \text{ invertible }$$ y esto funciona tanto sobre anillos generales como sobre campos cuando sustituimos " $\det(A)\neq 0$ " con " $\det(A)$ una unidad". Esto es crucial para hacer $A^{-n}$ bien definido. Tenga en cuenta que (utilizando lo que ya ha demostrado) $$Ax=\lambda x\implies A^{-1}x=\lambda^{-1}x\implies (A^{-1})^nx=(\lambda^{-1})^nx\implies A^{-n}x=\lambda^{-n}x$$ por lo que podemos concluir que $Ax= \lambda x\implies A^nx=\lambda^n x$ para todos los enteros $n$ .

Answer 2

Si $A$ es invertible y $A x = \lambda x$ para algunos $x\neq 0$ entonces $\lambda \neq 0$ y $A^{-1} x = \frac{1}{\lambda} x$ . De ello se desprende que $A^{-n} x = \lambda^{-n} x$ para todos los enteros $n$ .