Derivada de la mentira a lo largo de campos vectoriales dependientes del tiempo

Question

En "Conferencias sobre la Geometría Simpléctica", por A. C. da Silva (http://www.math.ist.utl.pt/~acannas/Libros/lsg.pdf), el autor da la siguiente definición:

$$ \mathcal{L}_{v_t} := \frac{\mathrm d }{\mathrm d t} (\rho_t)^*\omega\big|_{t=0} $$

donde $\rho_t$ satisface $$ \frac{\mathrm d \rho_t}{\mathrm d t} = v_t\circ\rho_t \qquad \text{and} \qquad \rho_0 = \mathrm{id}. $$

Me pregunto si esto tiene sentido en realidad. Por el tiempo independiente de campos vectoriales $v_t=v$ total hace, pero en el momento dependiente caso, tengo las siguientes objeciones:

1. El lado derecho de la definición de $\mathcal{L}_{v_t}$ no utiliza el parámetro de $t$. O es el $t$ en el lado izquierdo sólo para indicar que tenemos un tiempo-dependiente de campo vectorial? Pero en la página 40 el autor utiliza la fórmula de Cartan $$ \mathcal{L}_{v_t}\omega = i_{v_t}\mathrm{d\omega} + \mathrm{d}i_{v_t}\omega $$ donde el lado derecho ciertamente depende del parámetro $t$.
2. La fórmula $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\rho_t^*\omega = \rho_t^*\mathcal{L}_{v_t}\omega$$ dado en la página 36 parece ser incorrecto cuando se utiliza la definición de las $\mathcal{L}_{v_t}$ dado anteriormente.

Para mí todo funciona cuando defino el lugar $$ \mathcal{L}_{v_s} := \frac{\mathrm d }{\mathrm d t} (\rho_{s,t})^*\omega\big|_{t=s} $$

donde $\rho_{s,t}$ satisface $$ \frac{\mathrm d \rho_{s,t}}{\mathrm d t} = v_t\circ\rho_{s,t} \qquad \text{and} \qquad \rho_{s,s} = \mathrm{id}. $$

¿Esto tiene sentido para usted?

Answer 1

Tus correcciones son correctas. La definición que citó le da$\mathcal L_{v_t}|_{t=0}$. Como$\mathbb R$ actúa en todo por$t \mapsto t+s$, esta definición le permite extraer el valor de$\mathcal L_{v_s}$ para cualquier otro$s$.