Sabemos que $$g'(x)=g(x)$$ $g(0)=1$ A continuación, $g(x)=e^x$
Si queremos resolver $y'=ay$,
Podemos escribir la solución general $y'=ay$ (o si derivado de ambos lados $y''=a^2y$) $$y=k.g(a x)=k.e^{ax}$$ donde $k$ es una constante.
Podemos expresar la solución particular de muchos de ecuaciones diferenciales mediante el uso de $e^{\beta x}$, pero algunos no podemos. Por ejemplo, podemos encontrar una solución particular para
$y'=1+y^2$ (si se aplica la derivada de ambos lados, a continuación, obtenemos $y''=2y^3+2y$)
y la solución particular para $y''=2y^3+2y$ puede ser escrito: $$y=\tan(x)=-i\frac{g(ix)-g(-ix)}{g(ix)+g(-ix)}=-i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}$$
pero como he sabido que no podemos resolver el general de la ecuación diferencial ,$y''(x)=ay^3(x)+by^2(x)+cy(x)+d$ (donde a,b,c son constantes) a través de sólo el uso de $e^{\beta x}$ . Necesitamos definir algunos no elementery funciones (funciones elípticas) para encontrar la solución. Pensé para seleccionar una función elíptica para encontrar una solución particular de la general de la ecuación diferencial ,$$y''(x)=ay^3(x)+by^2(x)+cy(x)+d$$ by using the selected elliptic function and elementary function $e^{\beta x}$ (mi objetivo es encontrar una forma cerrada con limitada en términos de la combinación de ambas funciones o sólo con el seleccionado elíptica de la función).
Vamos a seleccionar una función elíptica y intentar utilizar una función de base para este objetivo.
$$f''(x)=-2f^3(x)$$ $f(0)=0$
$f'(0)=1$
$$(f'(x))^2=1-f^4(x)$$ La base definida de la función puede ser expresada $$x= \int_{0}^{f(x)} \frac{du}{\sqrt{1-u^4}}$$
Euler encontró una adición fórmula de esta $f(x)$. La fórmula en la página 6 en el artículo que fue escrito por José Barrios
$$f(x+y)=\frac{f(x)\sqrt{1-f^4(y)}+f(y)\sqrt{1-f^4(x)}}{1+f^2(x)f^2(y)}$$
o podemos reescribir como:
$$f(x+y)=\frac{f(x)f'(y)+f(y)f'(x)}{1+f^2(x)f^2(y)}$$
Es posible encontrar una solución particular de la general de la ecuación diferencial $y''=ay^3+by^2+cy+d$ mediante la combinación de los seleccionados elíptica función de $f(x)$ $e^{x}$ en forma cerrada ?
Nota:puede que necesite seleccionar otra base $f(x)$ que sería más fácil para este fin. He seleccionado al azar.
Necesito referencias y sugerencias acerca de esta idea. Muchas gracias por su ayuda
EDIT: 15 de agosto de 2016
Me gustaría compartir mis resultados:
Supongamos que tenemos la siguiente ecuación:
$$ y'=\frac{dy}{dx} = p (y^2 + my + n)$$
Si queremos resolver la ecuación diferencial:
Solución General de la ecuación diferencial puede escribirse como
$y=-\frac{m}{2}-\frac{\sqrt{m^2-4n}}{2}+\cfrac{\sqrt{m^2-4n}}{1+ke^{xp\sqrt{m^2-4n}}}$
donde $k$ es una constante.
Si tenemos la derivada de ambos lados $$ y'=\frac{dy}{dx} = p (y^2 + my + n)$$ $$ y''=\frac{d^2y}{dx^2} = p (2y + m)y'$$ $$ y''= p^2 (2y + m)(y^2 + my + n)$$
$$ y''= 2p^2y^3+3p^2my^2+p^2(m^2+2n)y+p^2mn$$
Si nos comparamos con nuestros ecuación general , podemos encontrar una condición que tiene solución a través de $e^{\beta x}$.
$$y''= ay^3+by^2+cy+d$$
La condición: $$2b^3+27a^2d=9abc$$
Si la ecuación general satisfacer esta condición , el general de la ecuación tiene una solución con $e^{\beta x}$, pero si la condición no se satisface , se debe expresar la solución con funciones elípticas. Es un hecho conocido que la elíptica funciones no pueden ser expresadas por $e^{\beta x}$ en forma cerrada.
$p=\sqrt{a/2}$ ; $m=\frac{2b}{3a}$;$n=\frac{3d}{b}$
$y_p(x)=-\frac{m}{2}-\frac{\sqrt{m^2-4n}}{2}+\cfrac{\sqrt{m^2-4n}}{1+ke^{xp\sqrt{m^2-4n}}}$ donde $k$ es una constante.
Me he dado cuenta de que podemos expresar la solución condición como:
$y_p=A\cfrac{e^{\alpha x} +B}{e^{\alpha x} +C}$
Vamos a transformar el general diff ecuación
$y=A\cfrac{u +B}{u +C}$ y para comprobar una condición para la u
$$y'=A\cfrac{C-B}{(u +C)^2}u'$$
$$y''= ay^3+by^2+cy+d$$ Si integramos ambos lados, obtenemos: $$ \frac12 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{a}{4} y^4+\frac{b}{3} y^3+\frac{c}{2} y^2+d y + e$$ where $e$ es una constante.
$$ \frac{A^2(C-B)^2}{2(u +C)^4} u'^2 = \frac{a}{4}\frac{(u +B)^4}{(u +C)^4}+\frac{b}{3} \frac{(u +B)^3}{(u +C)^3}+\frac{c}{2} \frac{(u +B)^2}{(u +C)^2}+d \frac{(u +B)}{(u +C)} + e$$
$$ \frac{A^2(C-B)^2}{2} u'^2= \frac{a}{4}(u +B)^4+\frac{b}{3} (u +B)^3(u +C)+\frac{c}{2} (u +B)^2(u +C)^2+d (u +B)(u +C)^3 + e(u +C)^4$$
He estado buscando una condición si se puede transformar en una ecuación como
$$ u'^2= a_4u^4+a_3u^3+a_2u^2+a_1u+a_0$$
donde $a_n$ es cualquier constante seleccionada.
En mi pregunta , he seleccionado para convertir a
$$ u'^2= s(1-u^4)$$
pero no estoy seguro de si podemos transformar la ecuación general de este tipo.
¿Alguien puede demostrar que es posible o no para convertirlo en un formulario seleccionado como $ u'^2= a_4u^4+a_3u^3+a_2u^2+a_1u+a_0$? (donde $a_n$ seleccionados son constantes.)
EDIT:7 Sep 2016
$$ \frac{A^2(C-B)^2}{2} u'^2= \frac{a}{4}(u +B)^4+\frac{b}{3} (u +B)^3(u +C)+\frac{c}{2} (u +B)^2(u +C)^2+d (u +B)(u +C)^3 + e(u +C)^4$$
Si seleccionamos $e=-(\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{c}{2}+d)$ $u^4$ plazo se cancela por lo que podemos obtener 3 grado del polinomio de la forma.
$$ \frac{A^2(C-B)^2}{2} u'^2= b_3 u^3+b_2u^2+b_1u+b_0$$
Podemos hacer $x=\alpha t$, entonces podemos obtener el formulario,
$$ u'^2= u^3+k_2(A,B,C)u^2+k_1(A,B,C)u+k_0(A,B,C)$$
Todavía tenemos 3 parámetros ($A,B,C$) para seleccionar . Podemos transformar en un formulario seleccionado $ u'^2= u^3+a_2u^2+a_1u+a_0$. (donde $a_n$ seleccionados son constantes.)
¿Alguien puede ayudarme a ver si la transformación a una forma seleccionada $ u'^2= u^3+a_2u^2+a_1u+a_0$ es posible o no? Muchas gracias por la ayuda
