¿Cuándo es $8x^2-4$ ¿un número cuadrado?

Question

He hecho una pregunta anterior sobre cuándo $32x+32$ es un número cuadrado ( aquí ) y obtuve una respuesta muy clara.

Ahora estoy buscando resolver para qué $x$ la ecuación $8x^2-4$ da como resultado un número cuadrado. Cuando intento resolverlo obtengo: $y^2=4(2x^2-1)$ por lo que si ponemos $y=2w$ entonces $2x^2-1 = w^2$ y por lo tanto $x=\sqrt{\frac{w^2+1}{2}}$ lo cual es correcto.

Sólo que ahora tengo que comprobar cuándo $\frac{w^2-1}{2}$ es un cuadrado que continúa recursivamente. Estoy buscando Entero soluciones para $x$ y $w$ . ¿Cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

Dada la ecuación $$ 2 n^2 - 1 = ( m - n )^2. $$

A partir de esto podemos escribir $$ 2 m n = m^2 - n^2 + 1. $$

Dejemos que $$ x = m^2 - n^2, y = 2 m n, z = m^2 + n^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = z^2. $$

Pero $$ y = x + 1, $$

por lo que obtenemos $$ x^2 + ( x + 1 )^2 = z^2, $$

que puede escribirse como $$ 2 z^2 - 1 = ( 2 x + 1 )^2, $$

o $$ 2 \big( \underbrace{m^2 + n^2}_{n'} \big)^2 - 1 = \big( \underbrace{ 2 \big[ m^2 - n^2 \big] + 1 }_{m'-n'} \big)^2. $$

Por lo tanto, a partir de $$ \big( m, n \big) $$

podemos "generar" el siguiente par $(m',n')$ utilizando $$ \big( m', n' \big) = \big( 3 m^2 - n^2 + 1, m^2 + n^2 \big). $$

Tenga en cuenta que $m=2$ y $n=1$ rinde $$ 2 \cdot 1^2 - 1 = ( 2 - 1 )^2 $$

Ahora podemos "generar" los siguientes pares...

$$ \big( m', n' \big) = \big( 3 \cdot 2^2 - 1^2 + 1, 2^2 + 1^2 \big) = \big( 12 , 5 \big). $$

$$ \big( m'', n'' \big) = \big( 3 \cdot 12^2 - 5^2 + 1, 12^2 + 5^2 \big) = \big( 408 , 169 \big). $$

$$ \big( m''', n''' \big) = \big( 3 \cdot 408^2 - 169^2 + 1, 408^2 + 169^2 \big) = \big( 470832, 195025 \big). $$

El número que buscamos son los números $n$ la primera dada por $$ n = 1\\ n = 5\\ n = 169\\ n = 195025 $$

Esto no son todos los números, ya que el es un segundo método para generar pares $(m',n')$ .

Todavía estoy trabajando en el segundo método.

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El método general viene dado por

$$ 2 x_n^2 - 1 = y_n^2, $$

donde ambos $x_n$ y $y_n$ son números enteros, entonces $$ x_n = \frac{7 + 5 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \Big( 3 + 2 \sqrt{2} \Big)^{n-1} -\frac{7 - 5 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \Big( 3 - 2 \sqrt{2} \Big)^{n-1}. $$

Los resultados son $$ \begin{array}{l|l} n & x_n\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 5\\ 2 & 29\\ 3 & 169\\ 4 & 985\\ 5 & 5741\\ 6 & 33461\\ 7 & 195025\\ 8 & 1136689\\ 9 & 6625109\\ 10 & 38613965 \end{array} $$

(necesito publicar cómo derivarlo, pero es largo)

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La idea básica para derivarlo:

Dado $$ 2 x_n^2 - 1 = y_n^2. $$

Tenga en cuenta que $$ \left( \begin{array}{c} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right) $$

y $$ \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right). $$

Así que $$ \left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} \right)^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right). $$

Dejemos que $\chi$ sea la traza de la matriz y $\Delta$ el determinante, entonces los valores propios vienen dados por $\lambda_\pm = \chi/2 \pm \sqrt{\chi^2/4 - \Delta}$ .

Entonces $$ \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} \right)^n = \frac{\lambda_+^n - \lambda_-^n}{\lambda_+ - \lambda_-} \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} \right) - \lambda_+ \lambda_- \frac{\lambda_+^{n-1} - \lambda_-^{n-1}}{\lambda_+ - \lambda_-} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$

De esto se deduce que $$ x_n = 5 \frac{\lambda_+^n - \lambda_-^n}{\lambda_+ - \lambda_-} - \lambda_+ \lambda_- \frac{\lambda_+^{n-1} - \lambda_-^{n-1}}{\lambda_+ - \lambda_-} $$

y $$ y_n = 7 \frac{\lambda_+^n - \lambda_-^n}{\lambda_+ - \lambda_-} - \lambda_+ \lambda_- \frac{\lambda_+^{n-1} - \lambda_-^{n-1}}{\lambda_+ - \lambda_-}. $$

Si lo resolvemos, obtenemos $$ x_n = \frac{7 + 5 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \Big( 3 + 2 \sqrt{2} \Big)^{n-1} -\frac{7 - 5 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \Big( 3 - 2 \sqrt{2} \Big)^{n-1}. $$

(He escrito este post deprisa, así que perdonadme por algunas erratas :)

Answer 2

Como ha dicho Daniel Fischer, acabas con $w^2 - 2x^2 = -1$ que es una ecuación Pell negativa. Antes hice una pregunta muy parecida. La solución fundamental y mínima es $(w_1, x_1) = (1, 1)$ . El resto de soluciones se pueden resolver como convergentes de la fracción continua de $\sqrt{2}$ . Las siguientes soluciones están descritas por las ecuaciones de recurrencia $w_{k+1} = 3w_k + 4x_k,\ x_{k+1} = 2w_k + 3x_k$ . Esto se resuelve con $x_k = 6x_{k-1} - x_{k-2}$ con $x_0 = 0$ . Más información aquí .

Answer 3

Enfoque de fracción continua

Supongamos que $2q^2-1=p^2$ . Entonces $$ \left(\sqrt2-\frac pq\right)\left(\sqrt2+\frac pq\right)=\frac1{q^2}\tag{1} $$ Así, $$ \left|\sqrt2-\frac pq\right|\lt\frac1{2q^2}\tag{2} $$ Las únicas aproximaciones racionales que son tan buenas son Fracción continuada aproximaciones. La fracción continua para $\sqrt2$ es $(1;2,2,2,2,\dots)$ . Usando la tabla de abajo, donde cada columna debajo de la línea es la suma del número encima de esa columna por la columna anterior más la columna que la precede: $$ \begin{array}{c|c} &&1&2&2&2&2&2&2\\\hline 0&1&1&3&7&17&41&99&239\\ 1&0&1&2&5&12&29&70&169 \end{array}\tag{3} $$ los primeros convergentes de esta fracción continua son $$ \color{#00A000}{\frac11},\frac32,\color{#00A000}{\frac75},\frac{17}{12},\color{#00A000}{\frac{41}{29}},\frac{99}{70},\color{#00A000}{\frac{239}{169}},\cdots\tag{4} $$ Las subestimaciones y las sobreestimaciones se alternan, por lo que las entradas verdes son subestimaciones.

Dado que los numeradores y denominadores siguen la recurrencia $$ (S^2-2S-1)a=0\tag{5} $$ donde $S$ es el operador de desplazamiento $Sa_n=a_n+1$ y $(x^2-2x-1)(x^2+2x-1)=x^4-6x^2+1$ los numeradores y denominadores también deben satisfacer $$ (S^4-6S^2+1)a=0\tag{6} $$ Por lo tanto, la recurrencia para cualquier otro numerador y denominador es $$ a_n=6a_{n-2}-a_{n-4}\tag{7} $$

Así, si empezamos con $a_1=1$ y $a_2=5$ y luego calcular los términos sucesivos con $$ a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}\tag{8} $$ obtenemos todos los enteros para que $8a_n^2-4=4(2a_n^2-1)$ es un cuadrado.

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Notas
$(1)$ : Si $q\ne0$ Esto equivale a $2q^2-1=p^2$ .
$(2)$ : Desde $p\ge q$ En realidad, tenemos $\left|\sqrt2-\frac pq\right|\le\frac1{(1+\sqrt2)q^2}\lt\frac1{2q^2}$ . La afirmación sobre las aproximaciones racionales es el Teorema $5.6$ de este documento .
$(3)$ : Esta tabla se ha generado como se describe en el párrafo anterior. Se trata simplemente de utilizar el Algoritmo de Wallis, en particular el Corolario $2.2$ , de este documento .
$(4)$ : Esta lista simplemente recoge los convergentes de la tabla $(3)$ y colorea de verde las subestimaciones.
$(5)$ : Esta ecuación es un replanteamiento basado en operadores de $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$ .
$(6)$ : Cualquier secuencia que satisfaga la restricción en $(5)$ también satisface esta ecuación.
$(7)$ : Esta es una reafirmación de $(6)$ que es una relación entre todos los demás elementos de la secuencia. Esto nos da una recurrencia en los numeradores y denominadores de las subestimaciones.
$(8)$ : Describe la secuencia de denominadores para las subestimaciones.

Answer 4

• Según OEIS

- $a(n) = 6a(n-1) - a(n-2)$ con $a(1)=1, a(2)=5.$

desarrollándolo

$a(3)=6a(2)-a(1)$ coeficientes de $6^n$ son: $1,-1$

$a(4)=6^2a(2)-6a(1)-a(2)$ coeficientes: $1,-1,-1$

$a(5)=6^3a(2)-6^2a(1)-6a(2)-6a(2)+a(1)$ coeficientes: $1,-1,-2,1$

$a(6)=6^4a(2)-6^3a(1)-3*6^2a(2)+2*6a(1)+a(2)$ coeficientes: $1,-1,-3,2,1$

en general:

$coeff(a(n))=\{coeff(a(n-1)),0,0\}-\{0,0,coeff(a(n-2))\}$

análisis binario...

$11100000000$

$00110000000$ $k=0$

---

$00111000000$ $k=1$

---

$00111000000$

$00001100000$ $k=2$

---

$00111000000$

$00001100000$

$00001110000$ $k=3$

---

$00111000000$

$00001100000$

$00001110000$

$00000011000$ $k=4$

---

$00111000000$

$00001100000$

$00001110000$

$00000011000$

$00000011100$ $k=5$

---

primera parte: 1

segundo bit: 1

tercer bit: 2+k

cuarto bit: 1+k

quinto bit: 1+2+3(k-2)

sexto bit: 1+2+2(k-3)

séptimo bit:1+2+3(k-4)

octavo bit: 1+2+2(k-5)

La secuencia general de coeficientes es : $\{1,-1,-2-n,1+n,1+2+3(k-l),-1-2-2(k-l-1)..\},l<k$

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fórmula final:

• $a(3)=6a(2)-a(1)$

• $a(4)=6^2a(2)-6a(1)-a(2)$

• $a(4+(k=1))=1*6^3a(2)-1*6^2a(1)-2*6^1a(2)+1*6^0a(1)$

• $a(4+(k=2))=1*6^4a(2)-1*6^3a(1)-3*6^2a(2)+2*6^1a(1)-1a(2)$

...

• $a(4+k)=1*6^{k+2}*a(2)-1*6^{k+1}*a(1)-(k+1)*6^{k}*a(2)+(k)*6^{k-1}*a(1)+(1+2+3(k-2))*6^{k-2}*a(2)-(1+2+3(k-3))*6^{k-3}*a(1)-...+(-1)^{2^{(l(l+1))mod4}}*((l+2>=k)+2*(l+1>=k)+(3-(lmod2))*(k-l))*a(lmod2+2)$ todos los valores son no negativos