Necesita ayuda para entender el siguiente número de la teoría de la prueba

Question

Demostrar que existen infinitos números enteros n tales que $n, n + 1, n + 2$ son cada uno la suma de los cuadrados de dos números enteros:

Solución: la Primera solución: sea a un entero par tal que $a^2 + 1$ no es primo. (Por ejemplo, elegir un ≡ 2 (mod 5), por lo que el $a^2 + 1$ es divisible por 5.) Entonces podemos escribir $a^2 + 1$ como una diferencia de cuadrados $x^2 − b^2$, por factoring $a^2 + 1$ rs con $r ≥ s > 1$, y la configuración de x = (r + s)/2, b = (r − s)/2. Por último, poner n = $x^2 − 1$, por lo que $n = a^2 + b^2$, $n + 1 = x^2$, n + 2 = $x^2 + 1$

Me perdí en la siguiente parte:

Entonces podemos escribir $a^2 + 1$ como una diferencia de cuadrados $x^2 − b^2$, por factoring $a^2 + 1$ rs con $r ≥ s > 1$. ¿Qué es la rs?. Alguien puede ampliar esta prueba, por lo que se ve más claro?

Answer 1

Si $a^2 +1$ no es primo, entonces se puede escribir como un producto:

$$a^2 + 1 = rs,$$ where $r \geq s \gt 1$.

$r$ $s$ son simplemente estos factores aquí.

Answer 2

Simplemente siga las instrucciones:

1. Recoger algunas, incluso, $a$ tal que $a^2+1$ no es un número primo, por ejemplo,$a\equiv 2\pmod{5}$.
   Bien, nos vamos a recoger $a=22$;
2. Escribir $a^2+1$$r\cdot s$$r\geq s >1$.
   Bien, $22^2+1 = 97\cdot 5$;
3. Escribir $a^2+1$ como una diferencia de cuadrados a través de la descomposición anterior.
   Bien, $22^2+1 = (51+46)(51-46) = 51^2-46^2$.

Esto le da a ese $51^2-1$ es la suma de dos cuadrados, $22^2+46^2$, lo $51^2-1,51^2$ $51^2+1^2$ son tres números consecutivos pertenecientes a $\square+\square$. Es un poco más claro ahora?

Answer 3

Deje $a^2 + 1$ ser impar y $a^2 + 1$ no se prime. La prueba siempre asume que tales números son fáciles de encontrar señalando cualquier $2 + 5k$ va a ser un número.

Desde $a^2 + 1$ no es el primer ni, a continuación, $a^2 + 1 = r*s$ por alguna extraña $r, s$$s \le r$.

Deje $x$ ser el punto medio entre el$s$$r$. (En otras palabras $\frac {r+s}2$). Este punto medio es un número entero porque $r$ $s$ son ambos impares.

Deje $b = x-s = r-s$. Esto significa $r = x+b$$s= x-b$. Eso no es sorprendente como $x$ es el punto medio y el $b$ es la distancia que cada uno es desde el punto medio.

Considere los tres números consecutivos $n = x^2 -1$, $n+1 = x^2$ y $n + 2 = ^2 + 1$.

Obviamente $n+1 = x^2 + 0^2$ es la suma de dos cuadrados. Y por lo $n+2=x^2 + 1^2$.

Pero $n$ es así porque:

$a^2 + b^2 = (a^2 + 1) + b^2 - 1$

$= r*s + b^2 -1= (x+b)(x-b) + b^2 - 1$

$= x^2 -b^2 + b^2 -1 = x^2 - 1 = n$

Por lo $n$ es la suma de $a^2+ b^2$.