¿Cuál es la desviación estándar de un filtro gaussiano?

Question

Me refería a esta tesis, Filtrado gaussiano de alta dimensión para la fotografía computacional (o pdf ), para entender los filtros gausianos.

Sin embargo, no entendí una parte. El filtro gaussiano está dado por

$$ \hat {v_i} = \sum_ {j} \exp (-|p_i-p_j|^2 / 2)\,v_j $$

Si $p_i$ y $p_j$ son vectores de posición, entonces es simplemente el borrón gaussiano. Ahora bien, no entendí si dividimos $p_i$ y $p_j$ por una cierta constante, la desviación estándar del filtro se cambia. No entendí cómo ocurre. Tampoco entendí lo que quieres decir con la desviación estándar de un filtro.

Answer 1

Esta cuestión no tiene (casi) nada que ver con la "desviación estándar" en el sentido que se entiende en las estadísticas. Un término más preciso para lo que se está cambiando es la "radio" o "medio ancho" del filtro. Como quiera que se llame, desviación estándar, radio, lo que sea, siempre se refiere a la distancia típica sobre la cual el núcleo (aquí, $e^{-|p_i-p_j|^2/2}$ ) tiene una magnitud apreciable.

Cuando uniformemente reajustes la $p_i$ está cambiando efectivamente las unidades de medida de la distancia. (Por ejemplo, dividiendo 12 pies por 3 lo convierte en 4 yardas.) Es la misma distancia pero se expresa con un número diferente. Pero debido a que el valor numérico de esta distancia ha cambiado, los valores del núcleo también cambian.

Ayuda saber que la mayoría de los núcleos (y el gaussiano es típico) alcanzan sus valores más altos en 0 (es decir, cuando $p_i = p_j$ ) y disminuir a partir de ahí. Así, disminuyendo el valor numérico en el argumento del núcleo (que nunca es negativo) aumentos el valor del núcleo. Esto significa que las posiciones que una vez estuvieron tan alejadas como para no aportar nada al núcleo, ahora podrían empezar a aportar algo. En resumen, encogimiento los números aumentos el aparente "alcance" del propio núcleo: su radio (también conocido como "desviación estándar") se extiende proporcionalmente.