¿Por qué la definición de raíz cuadrada de un número no incluye el negativo de su solución?

Question

Mientras practicaba matemáticas para el SAT, me encontré con la pregunta

¿Cuál es la suma de las soluciones de $\sqrt{3x+13} = x+3$ ?

El primer paso que hice fue convertirla en cuadrática a partir de la ecuación dada.

Trabajar con la cuadrática, $x^2 + 3x -4$ Lo he calculado de la siguiente manera $(x+4)(x-1)$ .

Luego comprobé cada solución con la ecuación original. Para $x=1$ He comprobado que la ecuación se cumple como $\sqrt{(3*1)+13} = 1+3$

Mi pregunta viene entonces de cuando intenté comprobar $x=-4$ .

$\sqrt{(3*-4)+13} = -4+3$

$\sqrt{(-12)+13} = -1$

$\sqrt{1} = -1$ (O eso pensaba)

La respuesta al problema era 1, ya que no incluía $x=-4$ para ser una solución adecuada. Al ver esto, decidí investigar un poco.

Según el libro, Álgebra por I.M. Gelfand, Alexander Shen:

"Para ser exactos, la raíz cuadrada de un no negativo número $a$ es un no negativo número cuyo cuadrado es igual a $a$ "

Por ejemplo: $\sqrt{25} = 5$ y $5^2 = 25$

Lo que me confunde es por qué no podemos incluir también $-5$ como solución a la raíz cuadrada, porque $-5^2 = 25$

Answer 1

Los matemáticos son libres de adoptar cualquier definición. Pero se acostumbra a considerar la raíz cuadrada aritmética de números no negativos, siendo la propia raíz no negativa.

Esto hace que $f(x)=\sqrt{x}$ una función (de un solo valor), definida para todos los reales $$x\ge0.$$

(Así que una respuesta a la pregunta ¿Por qué? es: porque queremos hacer $\sqrt{x}$ una función .)

Cuando queremos que la contraparte negativa de $\sqrt{a}$ escribimos: $-\sqrt{a}$ .

Answer 2

La contrapartida negativa de una raíz cuadrada es SIEMPRE considerados en una solución.

Pero el $\sqrt{3x + 13}$ no forma parte del solución es parte del pregunta .

Bien. Entonces "la" raíz cuadrada es siempre positiva. Esto es sólo una convención para que podamos distinguir las dos raíces cuadradas. Y tanto la raíz cuadrada positiva como la negativa serán importantes para encontrar soluciones.

PERO

este problema es

$\sqrt{3x + 13} = x + 3$ tiene la raíz cuadrada en el enunciado del problema. Es positivo porque decimos que es positivo. Si la pregunta fuera $-\sqrt{3x + 13} = x+3$ (o, por el contrario, el $\sqrt{3x + 13} = -x - 3$ ) sólo consideraríamos negativo valores. ... porque ese es el problema pregunta para.

Así que queremos resolver ${3x + 13} = (x+3)^2$ CON la estipulación de que $x + 3 \ge 0$ .

Nosotros lo resolvemos: $x^2 + 6x +9 = 3x + 13$ así que $x^2 + 3x- 4$ por lo que las soluciones se encuentran entre $-4$ y $1$ . Pero $-4 + 3 < 0$ por lo que aunque es una solución a $\pm\sqrt{3x+13} =x + 3$ y es una solución para $-\sqrt{3x+13} = x+3$ No es una solución para $\sqrt{3x + 13} = x+3$ porque... eso es lo que la pregunta preguntó para.

Esto es un poco como preguntar "nombra todos los nombres de niño que empiecen por A o más y sean de origen germánico", y luego obtener una lista de todos los niños que son germánicos y enumerarlos. Luego se descubre que los que empiezan por A no aparecen en la solución y se pregunta por qué no se pueden incluir los nombres que empiezan por A.

Answer 3

Lo que está diciendo es $\sqrt{-1 * -1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = 1$ . Esto contradice la fórmula $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ porque a y b deben ser ambos números positivos.