Demostrar que $p^2 - 4qr$ ($p,q,r$ extraño números naturales) nunca es un cuadrado perfecto

Question

Los dados para la pregunta: $p, q, r$ son impares números naturales. Tenemos que demostrar que el $p^2 - 4qr$ nunca es un cuadrado perfecto.

La inspección de un par de ejemplos de lo que parece ser cierto, pero no tengo ni idea de por donde empezar. ¿Qué enfoque se utilizan?

Answer 1

Supongamos que al contrario que $p^2-4qr=x^2$ donde $x$ es un número entero. A continuación,$p^2-x^2=4qr$.

Está claro que $x$ debe ser impar. Por lo $p^2\equiv 1\pmod{8}$$x^2\equiv 1\pmod{8}$, y por lo tanto $p^2-x^2$ es divisible por $8$. Pero $4qr$ no es divisible por $8$.

Answer 2

Esto es equivalente a probar que por extraño $m$ si $4|n^2-m^2$$8|n^2-m^2$.

Esto es fácil si nos damos cuenta de $n^2-m^2=(n+m)(n-m)$, y si uno de ellos es incluso, ambos inclusive, y también, uno es un múltiplo de a $4$.

Answer 3

Un poco de cultura. Si $p^2 - 4 q r$ fueron un cuadrado perfecto, entonces nos gustaría ser capaces de factor de $$ qx^2 + p x + r $$ más de los enteros como $$ qx^2 + p x + r = ( q_1x + r_1) (q_2 x + r_2); $$ consulte Probar que si $b^2-4ac=k^2$ $ax^2+bx+c$ es factorizableo Fórmula de factorización de una Ecuación Cuadrática?

Sin embargo, $$ ( q_1x + r_1) (q_2 x + r_2) = q_1 q_2 x^2 + (q_1 r_2 + r_1 q_2)x + r_1 r_2, $$ mientras que $(q_1 r_2 + r_1 q_2)$ es aún, por lo que no puede ser igual a $p.$

Answer 4

Y ahora una extraña solución. Suponiendo que $p^2-4qr$ es un cuadrado, el polinomio $$s(x)= qx^2 + px + r $$ tiene que ser reducible $\mathbb{Q}$. Sin embargo, $x^2+x+1$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_2$, de ahí que no puede ocurrir.

Answer 5

Si $p,q,r$ son impares, a continuación, $p^2-4qr$ es impar. Así que si $p^2-4qr=s^2$ $s$ debe ser impar. Pero $4qr=(p-s)(p+s)$ LHS es divisible por $4$ e no $8$, el lado derecho es divisible por $8$ porque una de $p+s$ o $p-s$ es divisible por $2$ y el otro por $4$.