Forma cerrada de $\int_0^1(\ln(1-x)\ln(1+x)\ln(x))^2\,dx$

Question

Recuerdo que hace tiempo estaba pidiendo esta pregunta evaluar $\int_0^1\ln(1-x)\ln x\ln(1+x) \mathrm{dx}$ ,
y ahora, mientras me estaba haciendo una revisión, me pregunté si podemos conseguir la forma cerrada de

$$\int_0^1(\ln(1-x)\ln(1+x)\ln(x))^2\,dx$$

mediante el uso de las herramientas similares en esa prueba. El problema es que tenemos que hacer frente a algunos
serie que parece mucho más complicada. En caso de tener algunas ideas fructíferas aquí...

Answer 1

Proceso 1:

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Se sabe que\begin{align} \int_{0}^{1} x^{\nu -1} (1+x)^{\lambda} (1-x)^{\mu -1} \, dx = B(\mu, \nu) \, {}_{2}F_{1}(- \lambda, \nu; \mu+\nu; -1) \end{align} para que\begin{align} \int_{0}^{1} \left[ \ln(x) \, \ln(1-x) \, \ln(1+x) \right]^{2} \, dx = \partial_{\nu}^{2} \partial_{\mu}^{2} \partial_{\lambda}^{2} \left[ B(\mu, \nu) \, {}_{2}F_{1}(- \lambda, \nu; \mu+\nu; -1) \right]_{\mu=\nu=1}^{\lambda = 0} \end {alinee el} el valor resultante conducirá luego al cálculo de series que involucran la función Poligamma de hasta orden 3.

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Proceso 2

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En la vista de la utilización de la serie\begin{align} \frac{1}{2} \, \ln^{2}(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n} \, x^{n+1}}{n+1} \end {Alinee el} entonces\begin{align} \frac{1}{4} \, \ln^{2}(1-x) \, \ln^{2}(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \, x^{n+2} \end {Alinee el} donde\begin{align} A_{n} = \sum_{s=1}^{n} \frac{(-1)^{s-1} \, H_{n-s} H_{s} }{(s+1) (n-s+1)}. \end {Alinee el} Consideremos ahora la integral\begin{align} J = \int_{0}^{1} x^{\mu + \nu} \, dx = \frac{1}{\mu+\nu+1} \end{align} para que\begin{align} \partial_{\mu}^{2} J = \int_{0}^{1} x^{\mu+\nu} \, \ln^{2}(x) \, dx = \frac{2}{(\mu+\nu+1)^{3}}. \end{align} ahora, para la integral\begin{align} I = \int_{0}^{1} \left[ \ln(1-x) \, \ln(1+x) \, \ln(x) \right]^{2} \, dx, \end {Alinee el} se ve eso\begin{align} I &= 4 \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \, \int_{0}^{1} x^{n+2} \, \ln^{2}(x) \, dx \\ &= 8 \, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{A_{n}}{(n+3)^{3}} \\ &= 8 \, \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{s=1}^{\infty} \frac{(-1)^{s-1} \, H_{s} H_{n}}{(n+1) (s+1) (n+s+3)^{3}}. \end {Alinee el}

Answer 2

En términos de múltiples valores zeta esta integral es igual a $$ 2 \zeta (\bar3,\bar1)+\zeta (\bar3,1)+6 \zeta (\bar2,\bar1)+3 \zeta (\bar2,1)+24 \zeta (\bar1,\bar1)+12 \zeta (\bar1,1)-6 \zeta (2,\bar1)-2 \zeta (3,\bar1)+\zeta(\bar3,\bar1,\bar1)+\zeta (\bar3,\bar1,1)+\zeta (\bar3,1,\bar1)+2 \zeta (\bar2,\bar1,\bar1)+2 \zeta (\bar2,\bar1,1)+2 \zeta (\bar2,1,\bar1)+6 \zeta (\bar1,\bar1,\bar1)+6 \zeta(\bar1,\bar1,1)+6 \zeta (\bar1,1,\bar1)-2 \zeta (2,\bar1,\bar1)-2 \zeta (2,\bar1,1)-2 \zeta (2,1,\bar1)-\zeta (3,\bar1,\bar1)-\zeta (3,\bar1,1)-\zeta(3,1,\bar1)+\zeta (\bar3,\bar1,\bar1,\bar1)+\zeta (\bar3,\bar1,1,\bar1)+\zeta (\bar3,1,\bar1,1)+\zeta (\bar2,\bar1,\bar1,\bar1)+\zeta (\bar2,\bar1,1,\bar1)+\zeta (\bar2,1,\bar1,1)+2\zeta (\bar1,\bar1,\bar1,\bar1)+2 \zeta (\bar1,\bar1,1,\bar1)+2 \zeta (\bar1,1,\bar1,1)-\zeta (2,\bar1,\bar1,\bar1)-\zeta (2,\bar1,1,\bar1)-\zeta (2,1,\bar1,1)-\zeta(3,\bar1,\bar1,\bar1)-\zeta (3,\bar1,1,\bar1)-\zeta (3,1,\bar1,1)-6 \zeta (3)+3 \zeta (\bar3)+12 \zeta (\bar2)+60 \zeta (\bar1)-12 \zeta (2)-\frac{1}{4}\zeta (4)+90 $$ Algunos de estos pueden no tener una forma cerrada.

Explicación. Cada logaritmo puede ser escrito como una sola integrante: $$ \log x = -\int_x^1 \frac{dt}{t}, \qquad \log(1+a x) = \int_0^x \frac{du}{u+a^{-1}}. $$ A su vez, cada iteración integral sobre un simplex $0<t_n<\ldots<t_1<1$ de la forma $$ \int_0^1\frac{dt_1}{t_1-b_1}\int_0^{t_2}\frac{dt_2}{t_2-b_2}\int\cdots\int_0^{t_{n-1}}\frac{dt_n}{t_n-b_n} $$ puede ser escrito como un múltiplo zeta valor cuando cada una de las $b$$\{0,\pm1\}$.

La integral tiene la forma $$ \int_0^1dx\int_x^1\frac{dt_1}{t_1}\int_x^1 \frac{dt_2}{t_2} \int_0^x \frac{du_1}{u_1-1} \int_0^x \frac{du_2}{u_2-1} \int_0^x \frac{dv_1}{v_1+1} \int_0^x \frac{dv_2}{v_2+1}, $$ que pueden ser llevados a la interated integral de la forma anterior por la división de la integración de dominio en simplices y en varias ocasiones la integración a través de algunas variables hasta que sólo integrands de la forma $\frac{dt}{t-b}$ quedan. Llevar a cabo este procedimiento da a la expresión anterior en términos de múltiples valores zeta.