Cuando uno dice " $X$ es cierto hasta $Y$ ", entonces se quiere decir que no es estrictamente correcto que $X$ es verdadero, y el $Y$ que se produce después de la hasta aclara el sentido en que $X$ no es del todo cierto.
Por lo tanto, realmente significa "A grandes rasgos $X$ es cierto, excepto para $Y$ ".
Como puede ver, se trata de una construcción muy informal. Podría utilizarse de forma muy abusiva. Para que sea aceptable, el sentido en que $Y$ "corrige" $X$ debe ser muy familiar para el lector, o la lógica subyacente debe hacerse más explícita.
Así que cuando se dice que las factorizaciones en $\mathbb{Z}$ son únicos por encargo Entonces se entiende que, por supuesto, podríamos tener $a*b*c= b*a*c = c*a*b = \ldots$ y no queremos contarlas como factorizaciones esencialmente diferentes. En este caso este lenguaje descuidado es probablemente una buena elección expositiva, ya que la mayoría de los lectores tienen una idea intuitiva de lo que es la "excepción", mientras que deletrearlo explícitamente probablemente implicaría algo como lo siguiente:
Unicidad de las factorizaciones primarias : Si $r$ y $s$ son enteros positivos, $p_1,\ldots,p_r,q_1,\ldots,q_s$ son números primos y $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s$ entonces $r = s$ y existe una biyección $\sigma: \{1,\ldots,r\} \rightarrow \{1,\ldots,s\}$ tal que $p_i = q_{\sigma(i)}$ para todos $1 \leq i \leq r$ .
La cuestión es que esta afirmación más precisa será un galimatías para alguien que no tenga cierta sofisticación matemática. (Por otro lado, en algún momento un estudiante de matemáticas debería ser capaz de proporcionar la afirmación anterior o algo igualmente explícito y lógicamente equivalente. De hecho, recuerdo a un colega mío, un veterano matemático investigador, que me dijo que siempre se sentía incómodo con la afirmación de la unicidad de la factorización debido a la vaga frase "hasta". Tiene un nivel de exigencia muy alto en cuanto a la claridad de la exposición y el pensamiento). El libro del que hablas está escrito para un público mucho más general, así que su elección expositiva es un acierto.
(Como apunte, la primera vez que me introduje en la teoría de los números fue en un curso impartido por Marks y Pommersheim, un curso que enseñaban a estudiantes de secundaria con talento durante el verano a lo largo de muchos años. No he leído el libro que mencionas, en coautoría con Flapan, pero tengo que pensar que se basa en gran medida en estos cursos. Este curso fue una de las grandes influencias en mi vida intelectual --¡no por casualidad soy ahora un teórico de los números! -- así que espero que el libro sea bastante bueno).
