Problemas con Vakil la OFAG ejercicio 11.3.C

Question

Estoy teniendo problemas con el ejercicio en el título, incluso con la parte (a), en la que pide a demostrar que si $X$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{P}^n_k$ de dimensión al menos 1 y $H$ es un no-vacío hipersuperficie, a continuación, $X$ $H$ cumplir.

Siguiendo la sugerencia, he hecho lo siguiente: Por supuesto, $X$ está dado por $V(I)$ para algunos homogénea de primer ideal $I\subset k[x_0,\dots x_n]=:A$ $H$ $V(f)$ para un polinomio homogéneo $f\in A$. Queremos demostrar que no es homogénea primer ideal $\mathfrak{p}$ (que no es irrelevante) que contiene tanto $I$$f$.

Considerar el afín de cono $\mathrm{Spec}\ A/I$$X$$\mathrm{Spec}\ A$. Ser homogéneas, tanto en $I$ $f$ están contenidas en el ideal de $(x_0,\dots x_n)$. Por Krull director de ideal teorema, cada mínimo el primer ideal que contiene a $f\mod I$ ha codimension uno. $X$ tener dimensión de al menos uno implica que no son homogéneas prime prime ideales $\mathfrak{q}\supsetneq \mathfrak{r}\supset I$. Esto implica que $(x_o,\dots x_n)$ ha codimension al menos dos. Por lo tanto no son los principales ideales que contienen a $f\mod I$ que están contenidas en $(x_o,\dots x_n)$. Sin embargo, yo tendría que demostrar que no son homogéneas, tales primer ideales, ¿verdad? Prefiero tener sugerencias de soluciones completas.

Answer 1

Consejo: $\mathrm{Spec} A/I$ $\mathrm{Spec} A/f$ reunirse dentro de $\mathrm{Spec} A$? ¿Qué sabe usted acerca de las intersecciones en el espacio afín?

Answer 2

La intersección $Y=c(X)\cap V(f)$ de la cone $c(X)\subset \mathbb A^{n+1}_k$ $X$ con la hipersuperficie $V(f) \subset \mathbb A^{n+1}_k$ tiene cada uno de sus componentes irreducibles de $Y_i$ de dimensión al menos $\operatorname {dim}c(X)-1= \operatorname {dim}(X)\gt 0$ por Krull director de ideal teorema.
Uno de los componentes irreducibles de $Y_0$ contiene el origen y por lo tanto, puesto que tiene una dimensión positiva, también otro punto de $p\in Y_0\subset c(X)\cap V(f)$.
La imagen de este punto es el necesario punto de intersección $[p]\in X\cap V_+(f)$