Radio de convergencia

Question

Estoy tratando de entender cómo manejar el poder de la serie que en el piso o en el techo funciones en su término general.

Por ejemplo, el poder de la serie de $\displaystyle{\sum_{k \geq 1} \left\lfloor \frac{2^k}{(k+1)^2}\right\rfloor}x^k$ se supone que tiene un radio de convergencia de $\frac{1}{2}$ pero no veo cómo manejar esto.

Veo cómo la serie converge para valores de menos de $\frac{1}{2}$, pero ¿por qué difieren de los valores más grandes?

Answer 1

También puede escribir $$a_k := \left \lfloor \frac{2^k}{(k+1)^2} \right \rfloor $$ and then it means that $$ a_k \leq \frac{2^k}{(k+1)^2} \leq a_k + 1 $$ and then multiplying by $|x|^k$ obtenemos

$$ a_k |x|^k \leq \frac{2^k}{(k+1)^2} |x|^k \leq (a_k + 1) |x|^k $$

Ahora se puede calcular el radio de convergencia de la serie $$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2^k}{(k+1)^2} |x|^k $$ and it is equal to $1/2$.

Y ahora se puede concluir que el radio de convergencia de la serie $\sum a_k x^k$ al menos $1/2$ desde el extremo izquierdo de la desigualdad. Pero el uso de la situada más a la derecha de la desigualdad también se puede ver que el radio de convergencia de la serie $\sum a_k x^k$ no puede exceder $1/2$ debido a que estaría en contradicción con el hecho de que el radio de convergencia de la serie $$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2^k}{(k+1)^2} |x|^k $$ is $1/2$.

Esto es porque si la serie $\sum a_k x^k$ converge para algunos $x$$|x| > 1/2$, entonces la serie de $\sum (a_k + 1) x^k$ también converge porque es igual a la suma de la serie $\sum a_k x^k + \sum x^k$, y, a continuación, esto implica la convergencia de la serie $$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2^k}{(k+1)^2} |x|^k $$

también para esta $x$.

Answer 2

Observe que cuando se $k$ es lo suficientemente grande, $\displaystyle{\left\lfloor \frac{2^k}{(k+1)^2}\right\rfloor \geq\frac{1}{2}\frac{2^k}{(k+1)^2}}$. A partir de este se puede aplicar el root prueba a ver que el radio de convergencia es en la mayoría de las $\frac{1}{2}$.