Los subconjuntos de números tales que $a+b = c$

Question

El conjunto $\{1,2,\ldots,49\}$ se divide en tres subconjuntos. Demostrar que al menos uno de estos subconjuntos contiene tres diferentes números de $a,b,c$ tal que $a+b = c$.

Supongamos que no, así que $\{1,2,\ldots,49\}$ se puede dividir en tres débilmente suma libre de subconjuntos $A,B,C$. Uno de los subconjuntos, decir $A$, debe contener al menos $\left[\dfrac{49}{3}\right]+1 = 17$ elementos. A continuación, $A$ contiene elementos $a_1 < a_2 < \cdots < a_{17}$. Ahora considere las diferencias $a_{i}-a_{j}$ donde $i > j$. Hay, al menos, $\binom{17}{2} = 136$ tales diferencias y todos ellos están en $\{1,2,\ldots,48\}$. Entonces debe existir $i_1 > i_2$ $i_3 > i_4$ $(i_1,i_2) \neq (i_3,i_4)$ tal que $a_{i_1}-a_{i_2}= a_{i_3}-a_{i_4} $.

Estoy tratando de averiguar cómo llegar a una contradicción de este. Puedo volver a escribir el último en ser $(a_{i_1}-a_{i_3})+a_{i_4} = a_{i_2}$, pero no veo una contradicción inmediata a partir de aquí. ¿Cómo debo tratar de conseguir la contradicción?

Answer 1

Hablando de Schur números, simplemente se nos pide para probar un límite inferior para algo similar a $S(3)$. Deje $A,B,C$ ser nuestra partición de $[1,49]$, y vamos que darle un color en $\{0,1,2\}$ a cada elemento de a $n\in[1,49]$, de acuerdo a $n\in A$, $n\in B$ o $n\in C$. Vamos que considerar el grafo completo $K_{49}$ y dejar que le damos a la orilla $xy$ el mismo color de $|x-y|$: un monocromático $K_4$ garantiza la presencia de un Schur triple en $A,B$ o $C$ con términos distintos, y el problema se reduce a la estimación de un número de Ramsey, $R(4,4,4)$. Desde $R(4,4)=18$ (también aquí) y $R(3,3,3)=17$, la reclamación fácilmente de la siguiente manera de $49=3\cdot 17-2$.