Evaluar $\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\ln(x)dx$

Question

Puede un paso-por-paso de respuesta se muestra cómo probar: $$\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\ln(x)dx = -\frac{{\pi^\frac{1}{2}}}{4}(\gamma+\ln(4))$$

Tengo un sentimiento de diferenciación bajo el signo integral se podría hacer, pero no estoy seguro de cómo.

Answer 1

Uso $$\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} \, x^{u -1} \, dx = \frac{1}{2} \, \Gamma\left(\frac{u}{2}\right)$$ y se diferencian con respecto a $u$ obtener $$\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} \, x^{u -1} \, \ln(x) \, dx = \frac{1}{4} \, \Gamma\left(\frac{u}{2}\right) \, \psi\left(\frac{u}{2}\right).$$ Set $u =1$ y el valor de la función digamma para obtener el resultado deseado.