La distribución de los Números Racionales en $[0,1]$

Question

Si he de definir la función

$$\Phi(n) := \sum_{k=1}^n \phi(k),$$

donde $\phi$ es de Euler totient función,

y defino $Q_n(x)$ a ser el número de los distintos números racionales con demoninators $\leq n$ y los valores de $\in (0,x]$,

y me definen

$$F(x) := \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{Q_n(x)}{\Phi(n)}$$ en $[0,1]$,

y finalmente se definen $f(x) = F'(x)$.

Qué $F(x)$ existen? Si es así, es diferenciable? Si es así, ¿qué $f(x)$?

Mi intuición me dice que $F$ debe ser la función identidad. ¿Es esto cierto?

Answer 1

Sí, $F(x)=x$ todos los $x\in[0,1]$.

Croquis de la prueba: $\Phi(n)$ cuenta todas las primitivas de celosía puntos en el triángulo con vértices $(0,0)$, $(0,n)$, y $(n,n)$. (Aquí un entramado punto de $(a,b)$ es primitivo si $\gcd(a,b)=1$. El bijection envía $(a,b)$$a/b$.)

Usted puede contar primitivo de celosía puntos por la inclusión-exclusión: si $F(n)$ es el número total de celosía puntos en el triángulo con vértices $(0,0)$, $(0,n)$, y $(n,n)$,$\Phi(n) = \sum_{d=1}^\infty \mu(d)F(n/d)$.

Del mismo modo, $Q_n(x)$ cuenta todas las primitivas de celosía puntos en el triángulo con vértices $(0,0)$, $(0,n)$, y $(xn,n)$. Y por lo tanto $Q_n(x)$ también se puede calcular mediante la inclusión-exclusión, en términos del número total de celosía puntos en versiones a escala de este triángulo.

Por último, el número de celosía puntos en un gran triángulo es básicamente la misma que la de su área.