Espectáculo $\int_\frac{1}{3}^\frac{1}{2}\frac{\operatorname{artanh}(t)}{t}dt=\int_{\ln 2}^{\ln 3}\frac{u}{2\sinh u}du$

Question

¿Cómo puedo mostrar (o explicar) que

$$\int_\frac{1}{3}^\frac{1}{2}\frac{\operatorname{artanh} t}{t}dt,$$ $$\int_{\ln 2}^{\ln 3}\frac{u}{2\sinh u}du,$$ y $$-\int_\frac{1}{3}^\frac{1}{2}\frac{\ln v}{1-v^2}dv$$ son todos equivalentes, sin evaluar las integrales?

Answer 1

Como Théophile sugerido en los comentarios, los límites de integración de proporcionar un punto de partida natural: $\ln\frac12=-\ln 2$, $\ln\frac13=-\ln 3$, y $$-\int_\frac{1}{3}^\frac{1}{2}\frac{\ln v}{1-v^2}dv=\int_\frac{1}{2}^\frac{1}{3}\frac{\ln v}{1-v^2}dv\;,$$ so one should consider the possibility that $u=-\ln v$. If so, $du=-\frac1v dv$, and $$\sinh u=\frac12\left(e^u-e^{-u}\right)=\frac12\left(e^{-\ln v}-e^{\ln v}\right)=\frac12\left(\frac1v-v\right)=\frac{1-v^2}{2v}\;,$$ así

$$\int_{\ln 2}^{\ln 3}\frac{u}{2\sinh u}du=\int_{\frac12}^{\frac13}\frac{-\ln v}{\frac{1-v^2}v}\left(-\frac1v\right)dv=\int_{\frac13}^{\frac12}\frac{\ln v}{1-v^2}dv=-\int_{\frac12}^{\frac13}\frac{\ln v}{1-v^2}dv\;.$$

Las otras igualdades también sucumben a las sustituciones.

Answer 2

Me gustaría hacer una sugerencia para la igualdad

$\displaystyle \int_{1/3}^{1/2} \frac{\text{arctanh } t}{t}\text{ d}t=-\int_{1/3}^{1/2} \frac{\log v}{1-v^2}\text{ d}v$

La idea es volver a escribir $\displaystyle \text{arctanh } t=\int_0^t \frac{1}{1-s^2}\text{ d}s$, por lo que tenemos

$\displaystyle \int_{1/3}^{1/2} \frac{\text{arctanh } t}{t}\text{ d}t=\int_{1/3}^{1/2} \int_0^t \frac{1}{1-s^2} \frac{1}{t} \text{ d}s \text{ d}t$

Ahora podemos cambiar el orden de integración (tenga en cuenta que la región no es "simple"):

$\displaystyle \int_{1/3}^{1/2} \int_0^t \frac{1}{1-s^2} \frac{1}{t} \text{ d}s \text{ d}t=\int_{0}^{1/3} \int_{1/3}^{1/2} \frac{1}{1-s^2} \frac{1}{t} \text{ d}t \text{ d}s+\int_{1/3}^{1/2} \int_{s}^{1/2} \frac{1}{1-s^2} \frac{1}{t} \text{ d}t \text{ d}s$

Es muy fácil explícitamente evaluar varios de los términos:

$\begin{align*} &=\displaystyle \frac{1}{2} \log(3/2) \log(2)+\int_{1/3}^{1/2} \frac{\log(1/2)-\log s}{1-s^2}\text{ d}s \\ &=\frac{1}{2} \log(3/2) \log(2)+\int_{1/3}^{1/2} \frac{\log(1/2)}{1-s^2}\text{ d}s - \int_{1/3}^{1/2} \frac{\log s}{1-s^2}\text{ d}s \\ &=\frac{1}{2} \log(3/2) \log(2)-\frac{1}{2} \log(3/2) \log(2) - \int_{1/3}^{1/2} \frac{\log s}{1-s^2}\text{ d}s \\ &=- \int_{1/3}^{1/2} \frac{\log s}{1-s^2}\text{ d}s \end{align*}$

Este es precisamente el término deseado!