Suma de una secuencia de los recíprocos de los cuadrados de los números naturales impares

Question

Si $$a_{n}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+....+\frac{1}{(2n+1)^2}$$where $n\N$.

Entonces demostrar que

$a_{n}<\frac{1}{4}$

Answer 1

$$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n+1)^2}<\sum_{n\geq 1}\frac{1}{2n(2n+2)}\stackrel{\text{telescopic!}}{=}\frac{1}{4}. $$ Desde el lado izquierdo es igual a $\frac{\pi^2}{8}-1$ por series de Fourier, esta resulta ser una prueba de $\pi^2<10$.

Answer 2

He aquí un bosquejo de una prueba directa, que requiere únicamente de cálculo. Tenga en cuenta que para cada una de las $k$, $$\frac{1}{(2k + 1)^2} \leq \int_{k-1}^k \frac{1}{(2x + 1)^2}\,dx.$$

Esto implica que cada una de las $a_n$ es de menos de $$\frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49} + \int_{3}^\infty \frac{1}{(2x + 1)^2}.$$

El cálculo de esta integral da directamente el límite superior de $$\frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49} + \frac{1}{14} \approx .242 < \frac{1}{4}.$$

Este método es una buena técnica para calcular un límite superior de una suma (o la correspondiente límite inferior por alteración de la integral).

Answer 3

El $n$th plazo es menor que $\frac{1}{4n(n+1)}$. Este sustituye a la serie con un estándar de la serie que sumas a $\frac{1}{4}$.