Cómo demostrar que toda función continua $f:M\to X$ de la banda de Möbius $M$ en un espacio simplemente conexo $X$ es nulo-homotópico? Gracias de antemano.
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Desde $M \simeq S^1$ Toma WLOG $f:S^1 \to X$ . Por definición, un bucle en $X$ es un camino $g:I \to X$ tal que $g(0)=g(1)$ . Aviso $S^1=I/\sim, 0\sim1$ . Así que cualquier mapa $f:S^1 \to X$ es sólo un bucle e induce un bucle en $\pi_1(X)$ .
$\pi_1(X)=0$ por lo que el bucle tiene que ser homotópico a un bucle constante (trivial) y, por tanto, por definición, nulo-homotópico.
Stefan Hamcke
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$$ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} $$
La banda de Möbius $M$ es el espacio cociente de $I^2$ obtenida mediante la identificación $(0,y)\sim(1,1-y)$ . \begin{array}{ccc} I^2\times I &\ra d &I^2\\ \da{q\times Id} & &\da q\\ M\times I &\ra{\tilde d} &M \end{array} La plaza $I^2$ deformación se repliega sobre $I\times\left\{\frac12\right\}$ vía $d((x,y),t)=tr(x,y)+(1-t)(x,y)=\left(x,\ \frac t2+(1-t)y\right)$ donde $r(x,y)=\left(x,\frac12\right)$ es la retracción. Desde $d((0,y),t)\sim d((x,1-y),t)$ (es decir, respeta la identificación) y $q\times Id$ es un mapa cociente, induce una retracción de deformación $\tilde d$ de $M$ en $\left(I\times\left\{\frac12\right\}\right)/\sim\ \approx S^1$ . Composición $\tilde d$ con $f$ obtenemos una homotopía entre $f$ y $f\circ r$ siendo este último la imagen de un círculo en $X$ . Este círculo puede contraerse en $X$ ya que está simplemente conectado. Concatenando estas homotopías se obtiene una homotopía entre $f$ y un mapa constante.
