La clave es que "sólo los muy pequeños bloques abiertos de la materia". Vamos, a continuación, $F_x$ será el habitual tallo en $x$ con canónica inclusiones $i_U:F(U)\to F_x$, mientras que el $F_{(x)}$ es el "básico" acechar a $x$ tiene inclusiones $j_B:F(B)\to F_{(x)}$.
Por un lado abierto básicos de conjuntos abiertos y conjuntos por lo tanto, tenemos para cada una de las $B\in \mathcal B$ un mapa de $i_B:F(B)\to F_x$, por lo que la característica universal de la colimit nos da un mapa $F_{(x)}\to F_{x}$.
Por otro lado, desde la $\mathcal B$ es una base para la topología, para cualquier $U$, existe alguna $B\subseteq U$ básico de un conjunto abierto.
Ahora considere el $\mathcal B_U$ la familia de básica abrir conjuntos de contenidos en $U$, entonces para cada a $B\in \mathcal B_U$ tenemos un mapa de $\mu_B:F(U) \to F(B)$, naturalmente, que los viajes con restricciones (es $\mu_C = r_{B,C}\circ\mu_B$). Esto le da un mapa de $F(U)\to F_{(x)}$ definido por $j_B\circ\mu_B$, que no depende de la elección de $B$, esta familia da lugar a un mapa de $F_x\to F_{(x)}$ (el universal propiedad pf el colimit).
Por último no podía pedazo de cómo hacer esto en general, pero estamos a la izquierda para mostrar que los mapas de $\alpha:F_x\rightleftarrows F_{(x)}:\beta$ son inversos el uno al otro, la configuración elegí es al $F$ es una gavilla de conjuntos.
En esta configuración tenemos una representación de los tallos como el conjunto de gérmenes/"básicos" de los gérmenes en $x$
$$F_x = \coprod_{U\ni x} F(U)\big/\sim \qquad
F_{(x)} = \coprod_{B\ni x} F(B)\big/\sim $$
donde $s_U \sim s_V$ fib existe $W\subseteq U\cap V$ tal que $r_{U,W}(s_U) = r_{V,W}(s_V)$ (en ambos casos en los que $U,V,W$ son las condiciones generales del abierto de conjuntos o simplemente abierto básicos de conjuntos).
Por lo tanto, un elemento $s\in F_x$ es un germen de algún elemento $s_U\in F(U)$ por lo tanto se restringe a un elemento $s_B\in F(B)$ básicos de conjunto abierto $B$ contiene $x$, por lo tanto, la determinación de un "básico germen", ya que podemos tomar $U$ siendo un conjunto abierto en sí mismo, este mapa $F_x\to F_{(x)}$ es surjective. Ahora tome dos gérmenes $s,t\in F_x$, de modo que $\alpha(s) = \alpha (t)$, además vamos a $s_U$ $t_V$ ser los representantes de $s$$t$, respectivamente, a continuación, $\alpha(s)$ $\alpha(t)$ han representantes de $s_{B}$$t_{B'}$$F_{(x)}$, y puesto que son el mismo, itstands a la rason a la conclusión de que existe básicos de conjunto abierto $D\subseteq B\cap B'$ , de modo que $r_{B,D}s_B = r_{B',D}t_{B'}$ pero $s_B = r_{U,B}s_U$$t_{B'}=r_{V,B'}t_V$$r_{U,D}s_U= r_{V,D}t_V$$t=s$. Por lo tanto, $\alpha$ es inyectiva y surjective que es un isomorfismo en $\mathbf{Set}$.
