¿Cuál es la mejor manera de mostrar la monotonía de esta secuencia recursiva?

Question

Esta es la secuencia:

$a_{n+1}$ = $\sqrt{3a_{n} - 2}$
$a_{0}$ = 3

Antes de evaluar la monotonía sé que la secuencia es la conversión hacia 1 o 2.

Mi enfoque es de suponer que es monótonamente decreciente y, a continuación:

1. (observado) $a_{0} = 3 \geq \sqrt{7} = a_{1}$
2. (se supone) $a_{n} \geq a_{n+1}$
3. (hyptothetised) $a_{n+1} \geq a_{n+2}$

de 2. lo que puedo decir

$\Rightarrow3a_{n} \geq 3a_{n+1}$

$\Rightarrow3a_{n} - 2 \geq 3a_{n+1} - 2$

$\Rightarrow\sqrt{3a_{n} - 2} \geq \sqrt{3a_{n+1} - 2}$

(creo que me puede tomar la raíz cuadrada si sé que converge a 1 o 2, ¿correcto?)

$\Rightarrow a_{n+1} \geq a_{n+2}$

Puedo hacer algo como esto? Si sí, es concluyente/ hay una manera mejor o una buena alternativa? Si no, ¿cuál es el enfoque correcto?

Gracias de antemano

EDITAR: Dado que la mayoría de las respuestas de la dirección el acotamiento de la secuencia, debo añadir que este (lo siento si se trata de tarde): He hecho la suposición de que para $lim(n\rightarrow\infty)$ que $a_{n} = a_{n+1}$ y llegar a

$(a_{n=\infty} - 2)(a_{n=\infty} - 1) = 0$

Así que yo sé que el límite es 1 o 2, ¿verdad? Ya que en ambos casos $3a_{n} -2 > 0$, sería suficiente para hacer mi prueba de monotonía (arriba) válido? O esto es un argumento circular de nuevo?

Answer 1

Si $a_0 =3$, entonces por inducción $a_n > 2$ todos los $n$:

$$a_{n-1} > 2 \implies 3a_{n-1}-2 > 4 \implies a_{n} =\sqrt{3a_{n-1}-2} > 2$$

Por lo tanto, la prueba de su monotonía es válido (que puede tomar la raíz cuadrada).

Ahora usted tiene una disminución de la secuencia delimitada a continuación, los cuales deben converger.

Answer 2

Usted obtiene un error tipográfico...eso es $a_{0} = 3 \geq \sqrt{7} = a_{1}$. ;)

Usted no puede tomar la raíz cuadrada directamente, ya que no se ha demostrado que converge. Sí, usted sabe la respuesta final... pero el rigor de la prueba no puede usar nada que no demostrar, o será un argumento circular.

Así que usted puede demostrar que el $a_n>0$ primera. Pero aquí es una cosa delicada: $a_n>0$ no es suficiente para decir $a_{n+1}>0$. Así como se observó, usted puede probar $a_n \geq 1$, por inducción.

A continuación, puede utilizar la raíz cuadrada de la idea.