Si $A$ es un simple anillo unital, entonces el anillo $ \operatorname {End}({}_{M(A)}A)$ es isomorfo a $Z(A)$ el centro de $A$ .

Question

Antes de la emisión se harán algunas definiciones. Si $ \operatorname {End}(A)$ es el anillo de endomorfismos del grupo $A$ . Para cualquier $a,b \in A$ definir una multiplicación de dos caras $_aM_b \in \operatorname {End}(A)$ por $_aM_b(x) = axb$ . Con $M(A)$ denotan el conjunto de todos los elementos en $ \operatorname {End}(A)$ que puede escribirse como una suma finita de multiplicaciones de dos caras $_aM_b$ . Un elemento $f \in M(A)$ es por lo tanto de la forma $f:x \mapsto \sum_i a_ixb_i$ y note que $M(A)$ es una subcategoría de $ \operatorname {End}(A)$ .

Si $A$ es un simple anillo unital, luego el anillo divisorio asociado $ \operatorname {End}({}_{M(A)}A)$ es isomorfo a $Z(A)$ el centro de $A$ .

Answer 1

Escribiré endomorfismos de $_{M(A)}A$ a la derecha.

Dejemos que $f\colon A\to A$ sea un endomorfismo de $_{M(A)}A$ . Si $a,b\in A$ tenemos $({}_aM_bx)f={}_aM_b(x)f$ para cada $x\in A$ , lo que significa que $$ (axb)f=a(x)fb $$ En particular, para $b=1$ Esto implica $$ (ax)f=a(x)f $$ y así $f$ es un endomorfismo de $_AA$ y así podemos identificarlo con un subring de $A$ mediante la evaluación en $1$ . Por lo tanto, dejemos que $r=f(1)$ . Entonces, tomando $x=1$ y $a=1$ , $$ (1b)f=(1)fb $$ o $$ (1b)f=rb $$ Pero $1b=b1={}_bM_11$ y así $$ (1b)f=(b1)f=({}_bM_11)f={}_bM_1(1)f=br $$ Esto demuestra que $r\in Z(A)$ .

Eso, para $r\in Z(A)$ el mapa $x\mapsto xr$ define un endomorfismo de $_{M(A)}A$ es fácil de mostrar.

Tenga en cuenta que la simplicidad de $A$ no es necesario. Es para afirmar que $Z(A)$ es un anillo de división, por lo tanto un campo, porque $_{M(A)}A$ es un módulo simple cuando $A$ es un anillo simple (los submódulos son ideales de dos caras).