Para el número constante "a" considerar la función de $f(x)= ax + \cos 2x + \sin x + \cos x$ $\mathbb R$ tal que $f(u)<f(v)$$u< v$. Si el rango de a, para cualquier número real $u, v$$[\dfrac{m}{n}, \infty)$. Encontrar el mínimo valor de $(m+n)$
Intento:
El problema simplemente es una manera complicada de decir "encontrar el rango para el cual f(x) es estrictamente creciente".
Así, el uso de $f'(x)>0$ Obtengo:
$a> 2\sin 2x + \sin x - \cos x$
Así que, básicamente, tenemos que encontrar el máximo de RHS para el rango de una.
$g(x)= 2 \sin 2x + \sin x - \cos x $
Para el extremo, $g'(x)=0 $
$4 \cos 2x + \cos x+ \sin x= 0$
$\implies 16\cos^2 2x = 1+ \sin 2x$
$\implies 16\sin^2 2x + \sin 2x -15 =0$
$\implies \sin 2x = -1$ o $\sin 2x = \dfrac {15}{16}$
Entonces es en serio se vuelve muy complicado porque habría que extraer $\sin x$$\cos x$$\sin 2x = \dfrac{15}{16}$. Lo intenté, pero no podía conseguir fácilmente. Después de esto se tendría que conectar los valores de g(x) a ver que uno de ellos le da el máximo. (Sólo una nota al margen: g es periódica con período de $2\pi$)
Es posible hacer este problema usando mi método? Si no, ¿cuáles son las otras maneras inteligentes para resolverlo?
