Suma $\sum\limits_{n,m=1}^\infty \frac{1}{(n+m)!},$

Question

Estoy mirando: $$\sum_{n,m=1}^\infty \dfrac{1}{(n+m)!},$$ mi tarea es demostrar que es absolutamente convergente y hallar su suma.

He encontrado la suma haciendo lo siguiente:

$$\sum_{m,n=1}^\infty \frac{1}{(m+n)!}=\sum_{k=2}^\infty\left(\sum_{m+n=k}\frac{1}{(m+n)!}\right) = \sum_{k=2}^\infty\left(\sum_{m+n=k}\frac{1}{k!}\right) =\sum_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{k!}\left(\sum_{m+n=k}1\right)\right)$$ de lo que se deduce que la suma es igual a $e-1-\frac{1}{e}$ . Creo que esto es correcto, sin embargo, cuando intento la prueba de relación sigo obteniendo una convergencia fallida. No estoy seguro de cómo abordar la convergencia absoluta de este problema. Cualquier consejo sería estupendo.

Answer 1

Tú habías hecho todo el trabajo. Nosotros hemos $\sum_{m+n=k} 1=k-1$ . Así que nuestra suma es igual a $$\sum_{k=2}^\infty\frac{k-1}{k!}.\tag{1}$$ Esta serie puede reescribirse como $$\sum_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{(k-1)!}-\frac{1}{k!}\right),$$ que telescopia con suma $1$ .

Observación: La convergencia de (1) ya se ha demostrado implícitamente mediante el argumento del telescopio. Si quisiéramos podríamos hacer la Prueba Ratio. Si $a_n$ es el $n$ -tenemos $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n/(n+1)!}{(n-1)/n!}=\frac{n}{n-1}\cdot \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{n}{(n-1)(n+1)}.$$ Esto ha limitado $0$ como $n\to\infty$ .

Answer 2

Siempre que ambos $m$ y $n$ son lo suficientemente grandes, $(m+n)!\geq (mn)^2$ tiene $^{(*)}$ por lo que la convergencia absoluta está garantizada y podemos reordenar la doble suma como queramos. Por ejemplo: $$ \sum_{m,n=1}^{+\infty}\frac{1}{(m+n)!}=\sum_{s=2}^{+\infty}\sum_{n=1}^{s-1}\frac{1}{s!}=\sum_{s\geq 2}\frac{s-1}{s!}=\sum_{s\geq 1}\frac{1}{s!}-\sum_{s\geq 2}\frac{1}{s!}=\color{red}{\huge{1}},$$ sic et simpliciter .

_{(*) Basta con combinar la desigualdad $a!\geq a^4$ con la desigualdad AM-GM $(m+n)\geq 2\sqrt{mn}$ .}