Es la respuesta de limitar a un valor exacto?

Question

Supongo que me estoy encontrando $$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

La respuesta viene a ser 4. Es '4' valor exacto o acercarse a valor?

También tenemos $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$$ I know that this value of $\frac{\sin x}{x}$ is slightly less than $1$ in neighborhood of $x=0$ so what if we are asked $$\lim_{x\rightarrow 0}\bigg\lfloor \frac{\sin x}{x} \bigg\rfloor $$ Respuesta va a ser $1$ o $0$ e se $$\lim_{x\rightarrow 0}\bigg\lfloor \frac{\sin x}{x} \bigg\rfloor $$ y $$\bigg\lfloor \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \bigg\rfloor$$ iguales o diferentes?

Answer 1

$$\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}(x+2)=4.$$ Si $x\rightarrow2$ $x\neq2$ por la definición del límite.

Answer 2

El límite $$\lim_{x\rightarrow 0}\bigg\lfloor \frac{\sin x}{x} \bigg\rfloor = 0 $$

debido a $\ \bigg\lfloor \displaystyle{\frac{\sin x}{x}} \bigg\rfloor=0\ $ cerca de 0, ya que la función de $\displaystyle{\frac{\sin x}{x}}$ son los siguientes :

$$ 0 \leq \frac{\sin x}{x} < 1,\ \ \forall x\in[-\pi,\pi] $$

y esto implica que:

$$ \ \bigg\lfloor \displaystyle{\frac{\sin x}{x}} \bigg\rfloor=0,\ \ \forall x\neq 0\ \ \text{and}\ \ x\in[-\pi,\pi] $$

y usted sabe que $\ \underset{x\to 0}{\lim}{\displaystyle{\frac{\sin x}{x}}}=1$ y esto implica que

$$ \bigg\lfloor\underset{x\to 0}{\lim}{\displaystyle{\frac{\sin x}{x}}}\bigg\rfloor = 1 $$