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Clebsch-Gordan Identidad

Estoy tratando de tomar ventaja de una identidad determinada por la suma del producto de tres Clebsch-Gordan coeficientes, sin embargo, la forma actual de mi ecuación es ligeramente diferente. Hay una simetría de la relación que me va a permitir cambiar:

$\sum_{\alpha\beta\delta}C_{a\alpha b\beta}^{c\gamma}C_{d\delta b\beta}^{e\epsilon}C_{d\delta f\phi}^{a\alpha}$

En:

$\sum_{\alpha\beta\delta}C_{a\alpha b\beta}^{c\gamma}C_{d\delta b\beta}^{e\epsilon}C_{a\alpha f\phi}^{d\delta}$

El aviso necesito para intercambiar $j_2m_2$ $jm$ en el último Clebsh-Gordan coeficiente. ¿Alguien sabe una manera de hacer esto?

Nota: Mi notación sigue el de Varshalovich, $C_{j_1 m_1 j_2 m_2}^{jm}$

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Observe que $C^{22}_{1111}=1$ pero $C^{11}_{2211}=0$. No creo que esto es cierto a menos que $a=d$, y las sumas de más de $\alpha$ $\delta$ tienen el mismo rango.

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ZeroTheHero Puntos 111

En general, usted no puede hacer el cambio que sugieren, por la condición de las proyecciones. En su primera ecuación, las proyecciones en su última CG debe satisfacer $\delta +\phi=\alpha$ mientras que en la segunda ecuación, las proyecciones en su última CG debe satisfacer $\alpha+\delta=\phi$. Por lo tanto, salvo que exista más de simetría que usted no ha mencionado en su problema, por ejemplo,$\alpha=\delta$, no hay manera de transformar la primera en la segunda.

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